Cap. 4 - Problemas Adicionais ⇒ Problema 112 - Relaciones Métricas -Vol. 8 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Os pontos A₀, A₁, A₂.....A_2n dividem uma circunferência de raio cujo tamanho é R em um número ímpar de partes congruentes, B é um ponto diametralmente oposto do ponto A₀. Calcular:
BA₁. BA₂. BA₃. BA₄. ... .BA_n
A) Rⁿ
B) Rⁿ⁺¹
C) R[tex3]{^n}^{^n}[/tex3]
D) R[tex3]^{\frac{n+1}{(R^n-1)}}[/tex3]
E) R²ⁿ

Resposta

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Resposta:A

[geobson]

Segue solução no link:
https://tutorbrasil.com.br/forum/viewtopic.php?t=105772

[petrasMOD]

Outra solução:
[tex3]A_0A_1=A_1A_2=A_2A_3=...=A_{2n}A_0[/tex3]

Seja [tex3]∠A_0BA_1=∠A_1BA_2=∠A_2BA_3=...=∠A_2nBA_0=θ [/tex3](∠'subtendidos por segments iguais)
Poligono [tex3]A_0A_1A_2...A_{2n}[/tex3] tem 2n+1 lados (ângulo externo [tex3]∠\frac{360^∘}{2n+1}[/tex3]
Ângulo interno: [tex3]∠=180^∘−\frac{360^∘}{2n+1}=\frac{360^∘n−180^∘}{2n+1}\\
△A_0BA_1: ∠A0=\frac{∠A_{2n}A_0A_1}{2}=\frac{180^o n−90^∘}{2n+1}\\
∠A_1=90^∘(∠ no semicírculo) \implies θ=90^∘−\frac{180^∘n−90^∘}{2n+1}=\frac{180∘}{2n+1}\\
\therefore (2n+1)θ=180^∘ ~e~ senθ=sen2nθ\\
cosθ=\frac{BA_1}{2R} (no △A_0BA_1)\\
cos2θ=\frac{BA_2}{2R} (no △A_0BA_2)\\
cos3θ=\frac{BA_3}{2R} (no △A_0BA_3)\\
.......\\
cosnθ=\frac{BA_n}{2R} (no △A0BA_n)\\
cosθ×cos2θ×cos3θ×...×cosnθ=BA_12R×BA_22R×BA_32R×...BA_n2R\\
\frac{2^n×senθ×cosθ×cos2θ×cos3θ×...×cosnθ}{2^n×senθ}=\frac{BA_1×BA_2×BA_3×...×BA_n}{2^n×R^n}\\
\frac{sen2nθ}{senθ}=\frac{BA_1×BA_2×BA_3×...×BA_n}{R^n}\\
\therefore BA_1×BA_2×BA_3×...×BA_n=R^n[/tex3]
(Solução:LionHeart)