ITA 1959 ⇒ ITA 1959 - Parte II - item 4 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Demonstre se a afirmativa é verdadeira ou falsa:

Para todo [tex3]x[/tex3] tal que [tex3](\sen\ x)(\cos\ x)\neq \frac{1}{2}[/tex3] tem-se [tex3]\tg^2\(x+\frac{\pi}{4}\)+1=\frac{1}{\frac{1}{2}-(\sen\ x)(\cos\ x)}[/tex3]

Resposta

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Resposta: V

[petrasMOD]

Trabalhando com o lado esquerdo.
Utilizamos a identidade fundamental da trigonometria [tex3]\tan ^{2}(\theta )+1=\sec ^{2}(\theta ). [/tex3]
Aplicando ao termo da esquerda, onde [tex3]\theta =x+\frac{\pi }{4}:tan ^{2}(x+\frac{\pi }{4})+1=\sec ^{2}(x+\frac{\pi }{4})=\frac{1}{\cos ^{2}(x+\frac{\pi }{4})}(I)[/tex3]
[tex3]cos (A+B)=\cos A\cos B-\sen A\sen B[/tex3]
[tex3]cos (x+\frac{\pi }{4})=cos x\cos (\frac{\pi }{4})-\sen x\sen (\frac{\pi }{4})\\
Como \ cos (\frac{\pi }{4})=\sen (\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2},[/tex3] temos:
[tex3]\cos (x+\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x-\sen x)[/tex3]
[tex3]cos ^{2}(x+\frac{\pi }{4})=(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}(\cos x-\sen x)^{2}=\frac{2}{4}(\cos ^{2}x-2\sen x\cos x+\sen ^{2}x)[/tex3]
Como [tex3]sen ^{2}x+\cos ^{2}x=1 \implies cos ^{2}(x+\frac{\pi }{4})=\frac{1}{2}(1-2\sen x\cos x)=\boxed{\frac{1}{2}-\sen x\cos x} [/tex3]
SUbstituindo em I: [tex3]\frac{1}{\cos ^{2}(x+\frac{\pi }{4})} = \frac{1}{\frac{1}{2}-\sen x\cos x}[/tex3]
(Verdadeiro)