ITA 1963 ⇒ Questão 05 - ITA-1963 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Por um ponto fora de um plano, pode-se traçar um único plano paralelo a esse plano.

Seja "A" o enunciado: "p é um ponto exterior ao plano α";

Seja "B" o enunciado: "por p pode-se traçar um plano β paralelo a α".

Seja "C" o enunciado: "o plano β é único".

Pede-se:

a) enunciar o teorema, em forma abreviada, usando "A", "B" e "C";

b) escrever a hipótese e a tese do teorema, usando as mesmas letras "A", "B" e "C";

c) demonstrar o teorema.

Resposta

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Resposta:s/gabarito)

[FelipeMartinMOD]

a-) [tex3]A \implies B [/tex3] e [tex3]C[/tex3].

b-)
hipótese: [tex3]A[/tex3]
tese: [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3]

c-) [tex3]A \implies B[/tex3]

Seja [tex3]r[/tex3] uma reta do plano [tex3]\alpha[/tex3]. Pelo postulado das paralelas, existe uma única reta [tex3]r'[/tex3] que é paralela a [tex3]r[/tex3] e passa por [tex3]P[/tex3]. Seja [tex3]Q[/tex3] um ponto arbitrário de [tex3]r[/tex3] e seja [tex3]R[/tex3] um ponto fora da reta [tex3]r[/tex3] mas no plano [tex3]\alpha[/tex3], então a reta [tex3]s = \overleftrightarrow{QR} \subset \alpha[/tex3] e [tex3]s[/tex3] é concorrente com [tex3]r[/tex3]. Seja [tex3]s'[/tex3] a paralela a [tex3]s[/tex3] que passa por [tex3]P[/tex3], então o plano [tex3]\beta = (s',r')[/tex3] é paralelo a [tex3]\alpha[/tex3] (pois contém duas retas paralelas a duas retas concorrentes em [tex3]\alpha[/tex3]) e passa por [tex3]P[/tex3].

suponha que existam dois planos [tex3]\beta[/tex3] e [tex3]\beta'[/tex3] ambos paralelos a [tex3]\alpha[/tex3] passando por [tex3]P[/tex3], como os planos [tex3]\beta[/tex3] e [tex3]\beta'[/tex3] possuem um ponto em comum, então, eles possuem uma reta em comum [tex3]a = \beta \cap \beta'[/tex3] com [tex3]a \parallel \alpha[/tex3]. Agora seja [tex3]r \subset \alpha[/tex3] uma reta qualquer de [tex3]\alpha[/tex3] não paralela a [tex3]a[/tex3], então, existe em [tex3]\beta[/tex3] a reta [tex3]r'[/tex3] que passa por [tex3]P[/tex3] e é paralela a [tex3]r[/tex3] e existe [tex3]r''\parallel r[/tex3] com [tex3]r'' \subset \beta'[/tex3] e [tex3]P \in r''[/tex3]. Pelo postulado das paralelas, [tex3]r'=r''[/tex3], mas duas retas concorrentes ([tex3]a[/tex3] e [tex3]r'[/tex3]) determinam um único plano.