Física I ⇒ Velocidade Angular Tópico resolvido

[theblackmamba]

Um caminhão anda com velocidade constante [tex3]v[/tex3]. Uma haste fixa em um pivô se encontra apoiada sobre a traseira do caminhão. Determine a velocidade angular da barra quando o ângulo de inclinação com a horizontal for [tex3]\alpha[/tex3]. A altura da traseira do caminhão vale [tex3]H[/tex3].

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[tex3]a)\,\,\frac{v\cdot \sen^2 \alpha}{H}[/tex3]
[tex3]b)\,\,\frac{v\cdot \sen^3 \alpha}{H}[/tex3]
[tex3]c)\,\,\frac{v\cdot \sen^2 \alpha}{2H}[/tex3]
[tex3]d)\,\,\frac{v\cdot \sen^2 \left(\frac{\alpha}{2}\right)}{H}[/tex3]

Resposta

---

Gabarito: A

Como proceder ?

Abraço.

[aleixoreis]

Prezado theblackmamba:

Pensei assim:
Suponhamos o caminhão encostado na barra, que estaria na posição vertical.
O veículo anda com velocidade [tex3]v[/tex3] e para na posição do desenho.
Então andou uma distância igual a [tex3]\frac{H}{\tan\alpha}[/tex3] com a velocidade [tex3]v[/tex3] e gastou o tempo de [tex3]t=\frac{H}{v\cdot\tan\alpha}[/tex3].
Este tempo seria o mesmo para qualquer ponto da barra percorrer um arco de [tex3]90^{\circ} -\alpha[/tex3] com uma velocidade angular [tex3]\omega[/tex3].

O que vc acha do meu raciocínio? Se concordar peço, se possível, fazer o cálculo de [tex3]\omega[/tex3].
[ ]'s.

[theblackmamba]

Olá aleixoreis,

Entendi o seu pensamento e havia pensando o mesmo. Mas o problema é calcular [tex3]\omega[/tex3]. Do jeito que sei, [tex3]\omega=\frac{\Delta \theta}{\Delta t}[/tex3] e entraríamos em um impasse

Tem uma outra ideia de como calculá-la ?

Abraço.

[aleixoreis]

Prezado theblackmamba.

Não tenho idéia de como ir adiante.
Foi por isso que deixei para vc o resto da solução. RsRsRs...
Estou com vontade de postar a questão em um outro fórum de Física onde é bem possivel que resolvam.
[ ]'s.

[Radius]

após um tempo [tex3]t[/tex3] a distância horizontal percorrida pela bundinha do caminhão é
[tex3]vt[/tex3] . Note que a altura é sempre a mesma e igual a [tex3]H[/tex3]. Se fizermos um triângulo
retângulo teremos os catetos [tex3]vt[/tex3] e [tex3]H[/tex3] e portanto a hipotenusa será
[tex3]\sqrt{v^2t^2+H^2}[/tex3] OBS: não sei fazer desenhos aqui

Em seguida, observamos que [tex3]tg\theta =H/vt[/tex3] Derivando ambos os lados em relação à t (d/dt)
e usando a regra da cadeia no lado esquerdo, ficamos com
[tex3](sec^2\theta )d\theta /dt=-H/vt^2[/tex3] . Como [tex3]d\theta /dt=\omega[/tex3] e rearranjando,

[tex3]\omega =-(cos^2\theta )H/vt^2[/tex3] . Não tô mais com saco pra finalizar mas se você fez triângulo
direitinho é só fazer as substituições apropriadas nessa última equação que vai resultar na letra (A).

[aleixoreis]

Prezado Radius:
Agradeço o interesse.
Todavia, agora é que comecei a estudar limites de funções e assim sendo não posso aproveitar a sua resposta.
Grato mais uma vez.
[ ]'s.

[FelipeMartinMOD]

digamos que no início a barra estava inclinada de [tex3]\alpha_0[/tex3] com a horizontal e o contato do caminhão estava a uma distância horizontal [tex3]d(0) = \frac H{\tg (\alpha_0)}[/tex3] do pivô.

De modo geral: [tex3]d(t) = \frac H{\tg (\alpha )} , t \geq 0[/tex3].

A derivada desta distância com o tempo é [tex3]v[/tex3]:

[tex3]v = H \frac{d(\tg(\alpha)^{-1})}{dt}[/tex3]

Só aplicação da regra da cadeia e da derivada da tangente:

[tex3]v = -H \tg(\alpha)^{-2} \sec ^2(\alpha) \frac{d \alpha}{dt} \implies \omega = - \frac vH \sen^2(\alpha) [/tex3].

Letra A em módulo.