Olimpíadas ⇒ (USA) Trigonometria Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID: 23699)]

Encontre o ângulo theta em graus sabendo que

[tex3]\cotg\theta =\frac{\sqrt{3}\cos(20^\circ)}{2+\sqrt{3}\cos(10^\circ)+\cos(40^\circ)}[/tex3]

sabendo que theta pertence ao primeiro quadrante.

Resposta

---

70º.
Primeiro tentei deixar tudo em função de 10º, aí não consegui nada. Fica uma expressão não tão feia, mas não consegui transformar isso em nada.
Depois, olhei o gabarito e vi que preciso provar que o lado direito é igual a tg20º, então tentei deixar tudo em função de 20º, mas daí surge uma raiz quadrada embaixo (arco metade) e fica feio.

[LeoJaques]

uppppppppppppppppppp

[FelipeMartinMOD]

acho que é só deixar todos os cossenos em termo de [tex3]10^{\circ}[/tex3]

[FelipeMartinMOD]

[tex3]\cos(40) = \cos(30+10) = \frac{\sqrt3}2 \cos(10) - \frac12 \sen (10) [/tex3]

[tex3]\cotg\theta =\frac{\sqrt{3}\cos(30^\circ-10^{\circ})}{2+\sqrt{3}\cos(10^\circ)+\cos(40^\circ)} = \\ =\frac{\sqrt{3}( \frac{\sqrt3}2 \cos(10^{\circ}) + \frac12 \sen (10^{\circ}))}{2+\sqrt{3}\cos(10^\circ)+ \frac{\sqrt3}2 \cos(10^{\circ}) - \frac12 \sen (10^{\circ})} =\\ = \frac{\sqrt{3}( \sqrt3 \cos(10^{\circ}) + \sen (10^{\circ}))}{4+2\sqrt{3}\cos(10^\circ)+ \sqrt3 \cos(10^{\circ}) - \sen (10^{\circ})} = \\ = \frac{ 3 \cos(10^{\circ}) + \sqrt{3}\sen (10^{\circ})}{4+3\sqrt{3}\cos(10^\circ) - \sen (10^{\circ})} [/tex3]

é, talvez seja mais complexo

[Leandro2112]

Essa eu já tentei desenvolver ela aqui no papel e não fluiu.

[petrasMOD]

Leandro2112,

Foram utizadas as fórmulas de transformação de produto em soma, soma em produto e arco duplo.
[tex3]\dfrac{\cos(20^\circ)\sqrt3}{2+\cos(40^\circ)+\cos(10^\circ)\sqrt3}=\\

=\dfrac{2\cos(20^\circ)\cos(30^\circ)}{2+\cos(40^\circ)+2\cos(10^\circ)\cos(30^\circ)}=\\

=\dfrac{\cos(50^\circ)+\cos(10^\circ)}{2+\cos(40^\circ)+\cos(40^\circ)+\cos(20^\circ)}=\\

=\dfrac{2\cos(50^\circ)+\cos(10^\circ)-\cos(50^\circ)}{2\big[1+\cos(40^\circ)\big]+\cos(20^\circ)}=\\

=\dfrac{2\sin(40^\circ)-2\sin(30^\circ)\sin(-20^\circ)}{2\big[1+2\cos^2(20^\circ)-1\big]+\cos(20^\circ)}=\\

=\dfrac{4\sin(20^\circ)\cos(20^\circ)+\sin(20^\circ)}{4\cos^2(20^\circ)+\cos(20^\circ)}=\\

=\dfrac{\sin(20^\circ)\big[4\cos(20^\circ)+1\big]}{\cos(20^\circ)\big[4\cos(20^\circ)+1\big]}=\tan(20^\circ)=\cot(70^\circ)\,.[/tex3]
(Solução:Angelo)