Nível I ⇒ Problema 21- Triângulos -Vol. 2 Tópico resolvido

[petrasMOD]

As raízes da seguinte equação são os lados de um triângulo.
Encontrar o menor valor inteiro de "n".
x³ - 4x² -2x²n + n²x +8nx -4n² = 0
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Resposta

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Resposta: C

[petrasMOD]

Sejam a,b e c [tex3]\in \mathbb{Z}_+[/tex3]raízes da equação

a+b>c
a+c>b
b+c>a

Pelo teorema de Viete:

[tex3]\mathsf{a+b+c=4+2n⟹n=\frac{a+b+c−4}{2}\\
ab+bc+ca=n^2+8n\\
abc=4n^2⟹n=\frac{\sqrt{abc}}{2}\\
\sqrt{a.b.c} \rightarrow \text{ quadrado perfeito e par}\\
\therefore a.b.c = 6^2 = 36} \implies n = \frac{6}{2}=\boxed{3}\\
x^3 −4x^2 −6x^2 +9x+24x−36=0 \implies a = 4:b = 3: c = 3 \checkmark

[/tex3]