Ensino Superior ⇒ Seção 2.3, Q - 63, James Stewart, Vol. 1; Limites e Derivadas. Tópico resolvido

[jomano]

Boa noite, alguém pode me ajudar com a resolução desse problema?

63. Se lim [f(x)-8]/[x-1] com x -->1 é igual a 10, quanto vale lim f(x) com x ---> 1?

Eu não posso resolver isso com a propriedade do quociente, certo? Pois, se usasse:

lim [f(x)-8]/[x-1], x->1 = lim [f(x)-8]/ lim [x-1], com x->1

Nessa situação, eu teria, no denominador, zero; quando me foi definida a propriedade, eu não poderia usá-la se o limite do denominador fosse zero...

Como resolver o item sem poder usar essa propriedade?
Muito obrigado!

Gab: 8

[ProfLaplace]

Exatamente, vc não pode usar essa propriedade...

Primeiro pense intuitivamente sobre o limite dado: o denominador vai pra zero. Se o numerador não for pra zero, então os limites laterais iriam para +infinito e -infinito, e o limite nem sequer existiria... Mas esse limite existe, é finito e vale 10, então logicamente o numerador tem que ir pra zero (pela contra-positiva da afirmação anterior). Se [tex3]f(x)-8[/tex3] vai pra zero, isso quer dizer que [tex3]f(x)[/tex3] vai pra 8. Ou seja, devemos esperar que a resposta seja 8.
Mas agora vou provar isso de maneira mais formal:

Chame o limite procurado de k:
[tex3]\lim_{x\to 1}f(x)=k[/tex3].

Temos:
[tex3]\lim_{x\to 1}(f(x)-8)=k-8 \Rightarrow \lim_{x\to 1}\left(\frac{(f(x)-8)}{x-1}(x-1)\right)=k-8 \Rightarrow \lim_{x\to 1}\frac{(f(x)-8)}{x-1}\cdot \lim_{x\to 1}(x-1)=k-8[/tex3].

Veja que posso usar esse truque de "multiplicar e dividir por [tex3](x-1)[/tex3]" pois o limite se importa com os valores ao redor de x=1 apenas, e não com o valor exato de x=1.
Ou seja, a função [tex3]\frac{(f(x)-8)}{x-1}[/tex3] não está definida em x=1, mas isso não gera problemas para o limite.
E veja também que acima podemos separar em dois limites no produto pois ambos existem e são finitos!

Continuando a conta: o primeiro limite dá 10 e o segundo obviamente dá zero. Logo:
[tex3]10\cdot 0=k-8 \Rightarrow k=8 \Rightarrow \lim_{x\to 1}f(x)=8. [/tex3]


Veja que o valor 10 não é tão relevante assim. Se fosse outro número daria o mesmo resultado. O que importa mais é que o limite dado é finito.
Outra conclusão: o limite dado só pode ser finito caso ele seja indeterminado do tipo [tex3]\frac{0}{0}.[/tex3]

[jomano]

@ProfLaplace,

Sensacional, muito obrigado pela força!