IME / ITA ⇒ AFA binomio de newton Tópico resolvido

[gabrielmacc]

No desenvolvimento de [tex3](x+2)^{n}[/tex3][tex3]x^{3}[/tex3], determine o coeficiente de [tex3]x^{n+1}[/tex3].

Resposta

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2n(n-1)

[petrasMOD]

gabrielmacc,

\[
(x + 2)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k \cdot 2^{n-k}
\]


\[
(x + 2)^n \cdot x^3 = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k \cdot 2^{n-k} \cdot x^3 = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{k+3} \cdot 2^{n-k}
\]


\[
k + 3 = n + 1
\]


\[
k = n - 2
\]

Substituir k = n - 2 na expressão do termo correspondente


\[
\text{Coeficiente de } x^{n+1} = \binom{n}{n-2} \cdot 2^{n-(n-2)} = \binom{n}{2} \cdot 2^2
\]



\[
\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}
\]

Portanto, o coeficiente de xⁿ⁺¹ é:

\[
\binom{n}{2} \cdot 4 = \frac{n(n-1)}{2} \cdot 4 = \boxed{2n(n-1)}
\]