Pré-Vestibular ⇒ (UnB/PAS - 1998) Geometria Espacial Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

No interior de um cubo em forma de um cilindro circular reto, inicialmente vazio, de raio interno da base igual a [tex3]10\text{ cm}[/tex3] e de altura maior que [tex3]40\text{ cm}[/tex3], é colocada uma bola de ferro maciça de raio igual a [tex3]6\text{ cm}[/tex3]. Preenche-se o cilindro com água até o nível atingir [tex3]12\text{ cm}[/tex3]. A bola é então retirada do tubo, sem que a água seja derramada, e substituída por outra de mesma densidade, porém de raio igual a [tex3]x\text{ cm}[/tex3],[tex3]0 < x < 10[/tex3]. Representando por [tex3]V(x)[/tex3] o volume da água no cilindro que está acima da altura correspondente a [tex3]2x\text{ cm}[/tex3], medida a partir da base do tubo, julgue os itens abaixo.

(1) [tex3]V(6)=0[/tex3].
(2) A função [tex3]V[/tex3] é crescente no intervalo [tex3](0, 10)[/tex3].
(3) Existem exatamente [tex3]2[/tex3] números reais positivos e distintos [tex3]x_1[/tex3] e [tex3]x_2[/tex3] tais que [tex3]V(x_1)=V(x_2)=0[/tex3].

Resposta

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C, E, C

[theblackmamba]

(1). CertaA altura real de água do cilindro quando retirado a bola será:
[tex3]V = V_{cil} - V_{bola}[/tex3]
[tex3]\pi \cdot 10^2 \cdot h = \pi \cdot 10^2 \cdot 12 - \frac{4\pi \cdot 6^3}{3}[/tex3]
[tex3]100h = 1200 - 288[/tex3]
[tex3]h = 9,12 \text{cm}[/tex3]. O volume real é [tex3]912\pi \,\text{cm^3}[/tex3]

Com x = 6cm o volume da bola será: [tex3]\frac{4\pi \cdot 6^3}{3} = 288\pi[/tex3]. Então o volume total será [tex3]912\pi + 288\pi = 1200\pi[/tex3], o qual corresponde ao cilindro uma altura = 12cm. Logo [tex3]V(6)=0[/tex3], visto que acima da altura 12cm não há água.

(2). Errada
A função é decrescente, visto que quanto maior a altura menor é a coluna de água em relação a determinada altura h.

(3). Certa
Para [tex3]x_1 = 6[/tex3] (já visto) e [tex3]x_2=8[/tex3].

Para [tex3]x_2=8[/tex3] o volume da bola será [tex3]V=\frac{2048\pi}{3} \,\text{cm^3}[/tex3]. Logo o volume total será [tex3]912\pi + \frac{2048\pi}{3} \approx1594,66 \pi \,\text{cm^3}[/tex3], que corresponde a uma altura de [tex3]15,95 \text{cm} <2 \cdot 8[/tex3].

Abraço.