Ensino Médio ⇒ Trigonometria: periodo de função arco triplo Tópico resolvido

[Argean]

Bom dia a todos.

Qual o período e imagem da função abaixo?

f(x) = sen (3x) . cos (3x)

Solução: P=[tex3]\pi [/tex3]/3 e Img= [-1/2 , 1/2]

Como se chegou a esse resultado??

O período é dado por 2[tex3]\pi [/tex3]/|c|. Mas não consegui entender como se isolou o periodo a partir do produto acima.
Claro que, olhando a resposta, pode-se deduzir isso fazendo calculos. Mas numa prova, como resolver isso sem partir pra erro e tentativa?

[petrasMOD]

Argean,

[tex3]f(x) = sen(3x)cos(3x) = \frac{1}{2}sen(6x)\\
P=\frac{2\pi}{6} =\frac{\pi}{3}\\
[/tex3]
A função seno sen(6x) varia entre -1 e 1, então a função
f(x)=1/2 sin(6x) varia entre −1/2​ e 1/2

Portanto, a imagem da função f(x) é o intervalo:=[−1/2,1/2]

[Argean]

petras, bom dia.
como vc reduziu f(x) = sen(3x)cos(3x) para [tex3] \frac{1}{2}sen(6x)\\ [/tex3]?

[petrasMOD]

Argean,

Identidade trigonometrica
sen(2x) = 2senx cosx
1/2(sen(2x)= senx.cosx
Portanto: 1/2(sen(6x) = sen(3x).cos(3x)

[petrasMOD]

Argean,
Pode usar também

sen(A)⋅cos(B)= 1/2 [sen(A+B)+sen(A−B)]

[Argean]

petras, sim. Eu entendi o uso da identidade. Mas existe uma sacada que eu não estava entendendo e que trava muita gente.
Tentei fazer aqui a partir da sua solução e acho que é isto:

Se fizermos 3x=a, temos
f(x) = sen (a). cos (a)
2Y= 2sen (a). cos (a)
2Y=sen (2a)
Y=1/2 sen (2a).
Como a = 3x ===> f(x)=1/2sen (6x)

É que pra quem tem muita habilidade na matemática, isso parece óbvio. Mas pra quem caminha com dificuldade, esse passo-a-passo faz toda a diferença.

Valeu mais uma vez.
Abs

[petrasMOD]

Argean,

Quando for assim indique com clareza sua dúvida...você apenas perguntou como foi reduzido..e nas verdade vc queria saber dentro da identidade como foi transformado 6x em 3x

Basta perceber que sen(2x) = 2 senx cos x ou seja há uma redução da metade do arco
sen(6x) = 2 sen (3x)cos(3x)

Se vocÊ utilizar a identidade do produto que eu postei depois não haverá dúvida pois é somente substituir os arcos..

[Argean]

petras, veja que minha inabilidade em matemática até impediu que eu formulasse a questão corretamente. Mas que bom que tudo deu certo no final.
obrigado pela ajuda e desculpe a minha ignorância.
Abs

[petrasMOD]

Argean,
Ninguem é obrigado a saber tudo...

[Argean]

petras, verdade. Bom é quando quem sabe mais compreende a limitação de quem não sabe. Boa semana pra vc e pro Forum.