IME / ITA ⇒ (Escola de Aeronáutica - 1952) Geometria Espacial Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Em uma pirâmide, a aresta lateral [tex3]SA[/tex3] mede [tex3]8\text{ cm}[/tex3]. A que distância do vértice [tex3]S[/tex3] devemos tomar o ponto [tex3]M[/tex3], sobre [tex3]SA[/tex3], a fim de que o plano paralelo à base, tirado por [tex3]M[/tex3], destaque uma pirâmide parcial, cujo volume esteja para o volume da total como [tex3]4[/tex3] está para [tex3]9[/tex3]?

[adrianotavares]

Olá, Aldrin.

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Pelo enunciado temos:

[tex3]\frac{v}{V}= \frac{4}{9}[/tex3]

Como a razão entre volumes de solidos semelhantes é igual a [tex3]k^3[/tex3] temos:

[tex3]\frac{v}{V}= \frac{4}{9}=k^3[/tex3]

[tex3]k= \sqrt[3]{\frac{4}{9}}[/tex3]

Sendo a razão entre os lados correspondentes iguais a [tex3]k[/tex3] teremos:

[tex3]\frac{x}{8}= \frac{y}{z}= k[/tex3]

[tex3]\frac{x}{8}= k \Rightarrow x= 8k \Rightarrow x=8 \sqrt[3]{\frac{4}{9}} \Rightarrow x= \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{9}}[/tex3]

Racionalizando teremos:

[tex3]x=8\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{9}}= 8\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{9}}=8 \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{3^2}}\cdot \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3}}=8\frac{\sqrt[3]{12}}{3}[/tex3]