Ensino Médio ⇒ Diagonais de um poliedro Tópico resolvido

[K1llua]

Olá, retirei essa questão de uma apostila do poliedro

Quantas diagonais tem o poliedro convexo de 5 faces triangulares, 3 quadrangulares e 5 pentagonais?

Gabarito

Resposta

---

48

[Usuário Excluído 30973]

Olá

i)
5 faces triangulares ---> 5.3=15 arestas
3 faces quadrangulares ---> 3.4 = 12 arestas
5 faces pentagonais ---> 5.5=25 arestas

Cada aresta é comum a duas faces, assim:
2A=52 ---> A=26 arestas

Da relação de Euler, V+F=A+2, temos:
V+13=26+2 ---> V=15 vértices

ii) Utilizando a combinação, para descobrirmos quantos segmentos de reta há no total:
[tex3]C_{15,2}=\frac{15!}{2!(13)!}=105[/tex3]

iii) Desse total, devemos retirar o número de arestas e o número de diagonais de cada face do poliedro. Assim,

-> 105-26=79
-> Número de diagonais de cada face:
*Utilize a fórmula D=n(n-3)/2 onde n é o número de lados do polígono.

Ficaremos com 6+25 = 31 diagonais das faces do poliedro.

Logo, o número de diagonais do poliedro é 79-31= 48 diagonais.

Espero que tenha ficado claro!

[K1llua]

Olá

i)
5 faces triangulares ---> 5.3=15 arestas
3 faces quadrangulares ---> 3.4 = 12 arestas
5 faces pentagonais ---> 5.5=25 arestas

Cada aresta é comum a duas faces, assim:
2A=52 ---> A=26 arestas

Da relação de Euler, V+F=A+2, temos:
V+13=26+2 ---> V=15 vértices

ii) Utilizando a combinação, para descobrirmos quantos segmentos de reta há no total:
[tex3]C_{15,2}=\frac{15!}{2!(13)!}=105[/tex3]

iii) Desse total, devemos retirar o número de arestas e o número de diagonais de cada face do poliedro. Assim,

-> 105-26=79
-> Número de diagonais de cada face:
*Utilize a fórmula D=n(n-3)/2 onde n é o número de lados do polígono.

Ficaremos com 6+25 = 31 diagonais das faces do poliedro.

Logo, o número de diagonais do poliedro é 79-31= 48 diagonais.

Espero que tenha ficado claro!

Agora eu entendi onde eu estava errando, obrigada!