Ensino Superior ⇒ Função bijetora, injetora e sobrejetora Tópico resolvido

[operador]

1- Determine se a função é injetora, sobrejetora e bijetora.
f: R → R+, tal que f(x) = [tex3]x^{-2}[/tex3]

2- Seja f: R → R+, tal que f(x) = [tex3]x^{5}[/tex3], determine se ela é bijetora. Em caso positivo, encontre a função inversa de f(x).

Não tem gabarito.
Obs: Pode me ajuda com passo a passo? Eu gostaria de entender o processo por trás das respostas. Grato desde já Espero ter cometido nenhum erro, esse é meu primeiro post aqui.

[Usuário Excluído 30973]

Olá

No item 1, temos:
para verificar se a função é injetora, vamos supor que exista f(x1)=f(x2), para x1 e x2 pertencentes ao domínio de f(x).
Assim,

[tex3]f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow \frac{1}{x_1^2}=\frac{1}{x_2^2}\Rightarrow x_1=\pm x_2\therefore [/tex3] a função não é injetora, uma vez que x1=x2 não é verdadeiro para todos x1 e x2 pertencentes ao domínio.

Dessa forma, essa função também não pode ser bijetora, pois para ser bijetora, a função deve ser injetora e sobrejetora.

Agora, vamos verificar se f(x) é sobrejetora:

Para uma função ser sobrejetora, devemos ter f(x)=y, para todo y pertencente ao contradomínio de f. Assim,

[tex3]supondo \ \ f(x)=y\Rightarrow y=\frac{1}{x^2}\Rightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{y}}[/tex3]
Então,
[tex3]f(x)=f(\frac{{1}}{\sqrt{y}})=\frac{1}{(\frac{1}{\sqrt{y}})^2}=y\therefore [/tex3] f(x) é sobrejetora apenas.

Item 2
Como já coloquei algumas definições em cima, vou fazer direto se detalhar muito.

i) [tex3]f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1^5=x_2^5\therefore x_1=x_2\therefore f(x) [/tex3] é injetora.
ii) [tex3]f(x)=y\Rightarrow x^5=y\Rightarrow x=\sqrt[5]{y}\\
f(x) =f(\sqrt[5]{y})=(\sqrt[5]{y})^5=y\therefore f(x)[/tex3] é sobrejetora.
Logo, a função é bijetora e, portanto, admite inversa.

iii) Calculando a inversa de f(x), temos:
[tex3]f(x)=\sqrt[5]{x}=y\Rightarrow y^5=x\Rightarrow y=\sqrt[5]{x}=f^{-1}(x)[/tex3]

Espero que tenha ficado claro.

[operador]

Obrigado, gibbs! O item 1 ficou bem mais claro, eu havia chegado à mesma conclusão mas não tinha certeza da minha resposta já que o professor não fornecer um gabarito.

No entanto, a resposta do item 2 me trouxe um pouco de confusão. Eu havia concluído que f(x) = x⁵ seria somente injetora já que f: R → R+. Na minha visão, pelo R ser positivo ali, não teria como Im(f)=CD. Se não for muito incomodo, você poderia explicar meu erro? Grato

[Usuário Excluído 30973]

No entanto, a resposta do item 2 me trouxe um pouco de confusão. Eu havia concluído que f(x) = x5 seria somente injetora já que f: R → R+. Na minha visão, pelo R ser positivo ali, não teria como Im(f)=CD. Se não for muito incomodo, você poderia explicar meu erro? Grato

Ahhhhh eu não prestei atenção que era R->R+, achava que era R->R
Você está certo!! Desculpa aí

[operador]

Hahaha relaxa! Obrigado por tirar minhas dúvidas, sua explicação me ajudou muito. Eu normalmente faço testando números, então ver um método diferente me ajudou a ver o que eu estava fazendo em uma outra perspectiva