Pré-Vestibular ⇒ UFMG - Complexos Tópico resolvido

[Usuário Excluído 30973]

Sejam n um número inteiro positivo e z um número complexo tal que |z|=1 e [tex3]1+z^{2n}\neq0[/tex3]
Calcule a parte imaginária de
[tex3]\frac{z^n}{1+z^{2n}}[/tex3]

Gabarito: 0

[FelipeOBala]

Bom dia!

[tex3]|z|=1\rightarrow z^2=1[/tex3], logo temos que [tex3]1+z^{2n}=1+(z^2)^n=2[/tex3], desse valor temos que [tex3]z^{2n}=1\therefore z^n=1\space ou\space z^n=-1\rightarrow \frac{z^n}{1+z^{2n}}\in \mathbb{Z}[/tex3], logo a parte imaginária é zero

[ProfLaplace]

FelipeOBala, sua primeira implicação infelizmente é falsa.
Contra-exemplo: [tex3]z=i[/tex3] tem módulo 1, mas [tex3]z^2=i^2=-1[/tex3].

Outra ideia para resolver:
Se [tex3]|z|=1[/tex3], segue-se que [tex3]z\neq 0[/tex3]. Logo podemos dividir em cima e embaixo por [tex3]z^n[/tex3]:
[tex3]\frac{z^n}{1+z^{2n}}=\frac{1}{z^{-n}+z^{n}}[/tex3].

Como [tex3]|z|=1[/tex3], podemos escrever [tex3]z[/tex3] como [tex3]z=\cos{t}+i\sin{t}[/tex3].
Pela fórmula de De Moivre, [tex3]z^n=\cos{(nt)}+i\sin{(nt)}[/tex3].
E também [tex3]z^{-n}=\cos{(-nt)}+i\sin{(-nt)}=\cos{(nt)}-i\sin{(nt)}[/tex3].
Logo [tex3]z^n+z^{-n}=2\cos{(nt)}[/tex3].
Portanto [tex3]\frac{1}{z^{-n}+z^{n}}=\frac{1}{2\cos{(nt)}} \in \mathbb{R}[/tex3].
Ou seja, a parte imaginária é zero.

[FelipeOBala]

FelipeOBala, sua primeira implicação infelizmente é falsa.
Contra-exemplo: [tex3]z=i[/tex3] tem módulo 1, mas [tex3]z^2=i^2=-1[/tex3].

Outra ideia para resolver:
Se [tex3]|z|=1[/tex3], segue-se que [tex3]z\neq 0[/tex3]. Logo podemos dividir em cima e embaixo por [tex3]z^n[/tex3]:
[tex3]\frac{z^n}{1+z^{2n}}=\frac{1}{z^{-n}+z^{n}}[/tex3].

Como [tex3]|z|=1[/tex3], podemos escrever [tex3]z[/tex3] como [tex3]z=\cos{t}+i\sin{t}[/tex3].
Pela fórmula de De Moivre, [tex3]z^n=\cos{(nt)}+i\sin{(nt)}[/tex3].
E também [tex3]z^{-n}=\cos{(-nt)}+i\sin{(-nt)}=\cos{(nt)}-i\sin{(nt)}[/tex3].
Logo [tex3]z^n+z^{-n}=2\cos{(nt)}[/tex3].
Portanto [tex3]\frac{1}{z^{-n}+z^{n}}=\frac{1}{2\cos{(nt)}} \in \mathbb{R}[/tex3].
Ou seja, parte imaginária é zero.

Pior que eu acabei de pensar que tava errado, por que os passos dados eu acabo voltando pro mesmo lugar o que não ajuda nada, bem melhor pela forma trigonométrica, valeu pela correção

[ProfLaplace]

gibbs, um complemento:

Ele informou que [tex3]1+z^{2n}\neq0[/tex3].
Dividindo isso por [tex3]z^n\neq0[/tex3], segue-se que [tex3]z^{-n}+z^n\neq0[/tex3].
Isso garante que [tex3]2\cos{(nt)}\neq0[/tex3] sempre.
Ou seja, não há nenhuma possibilidade do denominador de [tex3]\frac{1}{2\cos{(nt)}}[/tex3] se anular.

Questão bacaninha.
Abraço!

[Usuário Excluído 30973]

gibbs, um complemento:

Ele informou que [tex3]1+z^{2n}\neq0[/tex3].
Dividindo isso por [tex3]z^n\neq0[/tex3], segue-se que [tex3]z^{-n}+z^n\neq0[/tex3].
Isso garante que [tex3]2\cos{(nt)}\neq0[/tex3] sempre.
Ou seja, não há nenhuma possibilidade do denominador de [tex3]\frac{1}{2\cos{(nt)}}[/tex3] se anular.

Questão bacaninha.
Abraço!

Muito obrigada!!