Concursos Públicos ⇒ PROVA IFPI 2023 Tópico resolvido

[rodrigoallvez]

No diagrama a seguir, os pontos [tex3]D[/tex3] e [tex3]E[/tex3] estão localizados no lado [tex3]AB[/tex3], enquanto o ponto [tex3]F[/tex3] está no lado [tex3]AC[/tex3], com a condição de que [tex3]DA=DF=DE[/tex3], [tex3]BE=EF[/tex3], e [tex3]BF=BC[/tex3]. Sabendo que o ângulo [tex3]ABC[/tex3] é o dobro do ângulo [tex3]ACB[/tex3], encontre o valor de [tex3]x[/tex3], onde o ângulo [tex3]BFD[/tex3] é igual a [tex3]x°[/tex3].

a) 36
b) 72
c) 108
d) 144
e) 104

Resposta

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C

[AbelF]

Como os triângulos ABC, BEF, DEF e ADF são isósceles conforme a imagem podemos concluir que:
[tex3]\triangle BCF: B\hat{C}F=B\hat{F}C=\alpha \\ \triangle BEF:E\hat{B}F=B\hat{F}E=\gamma \\ \triangle DEF: D\hat{E}F=D\hat{F}E=2\gamma \quad (D\hat{E}F\text{ é igual a soma dos dois ângulos não adjacentes a ele}) \\ \triangle ADF: D\hat{A}F=D\hat{F}A=\theta[/tex3]

angulo-de-triangulo.png (18.08 KiB) Exibido 810 vezes

Daí,
[tex3]\triangle BCF:3\gamma+\theta=\alpha+\beta \quad (1)\\ \triangle ADF:\alpha+3\gamma=\theta+4\gamma \quad (2)[/tex3]
Somando as equações (1) e (2), e simplificando obtemos: [tex3]2\gamma=\beta\quad(3)[/tex3]. Da questão temos
[tex3]2\cdot A\hat{C}B=A\hat{B}C\Rightarrow2\alpha=\beta+\gamma\quad(4)[/tex3]
Somando as equações (3) e (4), e simplificando obtemos: [tex3]3\gamma=2\alpha[/tex3]. Assim,
[tex3]\triangle BCF:\beta+\alpha+\alpha=180° \\ \Rightarrow\beta+2\alpha=180°\\ \Rightarrow2\gamma+3\gamma=180° \\ \Rightarrow\gamma=36°[/tex3]
Portanto, [tex3]x=3\gamma=108°[/tex3].