Ensino Médio ⇒ geometria espacial - pirâmide ( tronco de pirâmide ) Tópico resolvido

[pLbrasilBOT]

34. No preparo da terra de um vaso para plantio de uma muda de árvore, um funcionário de prefeitura enche-o completamente de terra para iniciar o trabalho . O vaso tem forma de um tronco de pirâmide quadragular regular cujas arestas das bases medem 80 cm e 120 cm. Qual é o volume de terra utilizado na operação, se a distâcia entre duas arestas da mesma face do tronco é de 140 cm?

Resposta

---

1,4 m [tex3]^{3}[/tex3], aproximadamente

[petrasMOD]

pLbrasilBOT,

Para resolver o problema e calcular o volume do tronco de pirâmide quadrangular, precisamos seguir os passos abaixo:

1. **Fórmula do volume do tronco de pirâmide**:
O volume V de um tronco de pirâmide quadrangular é dado por:
\[
V = \frac{h}{3} \left(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1 \cdot A_2}\right)
\]
Onde:
- h é a altura do tronco;
- A_1 e A_2 são as áreas das bases menor e maior, respectivamente.

2. **Cálculo das áreas das bases**:
- A base menor é um quadrado com lado de 80 cm. Então:
\[
A_1 = 80^2 = 6400 \, \text{cm}^2
\]
- A base maior é um quadrado com lado de 120 cm. Então:
\[
A_2 = 120^2 = 14400 \, \text{cm}^2
\]

3. **Determinação da altura h**:
A altura do tronco não é fornecida diretamente, mas sabemos que a distância inclinada entre as bases (ao longo de uma face lateral) é 140 cm. Como as bases são paralelas e a face lateral é trapezoidal, podemos formar um triângulo retângulo, onde:
- A altura h é um dos catetos;
- A diferença dos semi-lados das bases [tex3]d = \frac{120 - 80}{2} = 20[/tex3]cm é o outro cateto;
- A distância inclinada 140 cm é a hipotenusa.

\[
h^2 + d^2 = 140^2 \quad \Rightarrow \quad h^2 + 20^2 = 140^2
\]
\[
h^2 + 400 = 19600 \quad \Rightarrow \quad h^2 = 19200 \quad \Rightarrow \quad h = \sqrt{19200}
\]

Substituindo s valores na fórmula do volume teremos aproximadamente:

\[
V \approx 1.404.116 \, \text{cm}^3 \quad \text{(ou \(1,40 \, \text{m}^3\))}.
\]