Ensino Médio ⇒ geometria espacial - pirâmide ( tronco de pirâmide ) Tópico resolvido

[pLbrasilBOT]

31. Uma pirâmide regular hexagonal de altura 6 cm é secionado por um plano paralelo à base e distante 4 cm dela .
a) Quantas vezes o volume da nova pirâmide cabe no tronco ?

Resposta

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26 vezes

[παθμ]

pLbrasilBOT,

Partindo do vértice de uma pirâmide, as dimensões lineares da seção transversal a uma distância [tex3]y[/tex3] do vértice são proporcionais a [tex3]y.[/tex3] Você pode concluir isso de forma direta usando semelhança de triângulos, por exemplo. Como as dimensões lineares são proporcionais a [tex3]y,[/tex3] a área da seção é proporcional a [tex3]y^2.[/tex3]

Sendo [tex3]A[/tex3] a área da base e [tex3]a[/tex3] a área da interseção do plano com a pirâmide, temos [tex3]A \propto 6^2 = 36[/tex3] e [tex3]a \propto (6-4)^2=4.[/tex3] Ou seja, [tex3]\frac{A}{a} = \frac{36}{4}=9 \Longrightarrow A=9a.[/tex3]

O volume do tronco é [tex3]V = \frac{(A+\sqrt{Aa}+a) \cdot 4}{3}=\frac{4(9a+\sqrt{9a^2}+a)}{3}=\frac{4 \cdot 13a}{3} = \frac{52a}{3}.[/tex3]

O volume da nova pirâmide é [tex3]v = \frac{2a}{3}.[/tex3] Daí:

[tex3]\frac{V}{v} = \frac{52}{2} \Longrightarrow \boxed{V = 26v.}[/tex3]