Ensino Fundamental ⇒ Questão 27 de fatoração do livro tópicos de algebra elementar Tópico resolvido

[aabc]

Sejam [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] números reais distintos tais que [tex3]\frac{a}{b}+\frac{a+10b}{b+10a}=2[/tex3]. O valor de [tex3]\frac{a}{b}[/tex3] é igual a

a) 0,4
b) 0,5
c) 0,6
d) 0,7
e) 0,8

[GiovanaMSPMOD]

Sendo [tex3]\mathrm{\lambda =\frac{a}{b},com\ \lambda <1\ \therefore\ a=\lambda b}[/tex3]. Da igualdade:

[tex3]\mathrm{\frac{a}{b}+\frac{a+10b}{b+10a}=2\to \lambda +\frac{(\lambda +10)\cancel{b}}{(1+10\lambda )\cancel{b}}=2\ \therefore\ 5\lambda ^2-9\lambda +4=0\ \therefore\ \lambda =\left(\frac{4}{5},\cancel{1}\right)}[/tex3]

Assim: [tex3]\mathrm{\lambda =\frac{a}{b}=0,8}[/tex3].

[GiovanaMSPMOD]

Desculpe. Agora que percebi que você queria algo por fatoração.

Vamos lá:

[tex3]\mathrm{\frac{a}{b}+\frac{a+10b}{b+10a}=2\to a(10a+b)+b(a+10b)=2b(10a+b)\ \therefore\ 10a^2+8b^2-18ab=0}[/tex3]

Agora a partir daqui fica meio complicado de enxergar a manipulação algébrica, mas a ideia é a que segue:

[tex3]\mathrm{2(5a^2+4b^2-9ab )=0\to 5a^2+4b^2-5ab-4ab=0\to (5a^2-5ab)-(4ab-4b^2)=0}[/tex3]

O que nos leva a:

[tex3]\mathrm{5a(a-b)-4b(a-b)=0\ \therefore\ (a-b)(5a-4b)=0}[/tex3]

Como [tex3]\mathrm{a\neq b\ \therefore\ 5a=4b\ \therefore\ \frac{a}{b}=\frac{4}{5}\ \therefore\ \frac{a}{b}=0,8}[/tex3].

[aabc]

não é possivel kkkkkk, quando eu tinha tentado resolver cheguei em (a-b)(5a-4b)=0 entretanto parei ai pensando que não era esse o caminho, pois tinha esquecido que a≠b

[GiovanaMSPMOD]

não é possivel kkkkkk, quando eu tinha tentado resolver cheguei em (a-b)(5a-4b)=0 entretanto parei ai pensando que não era esse o caminho, pois tinha esquecido que a≠b

Acontece nas melhores famílias kkkkk. O fator a - b você descarta pela condição do enunciado.

[ArquiBaude]

Quando se trata de proporções há algumas propriedades muito úteis que tornam a resolução de alguns problemas e a manipulação algébrica mais diretas. Geralmente são chamadas de Componendo e Dividendo.

Se temos a proporção com a,b,c,d sendo números, sendo b e d diferente de 0, vale que:

(i) [tex3]\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \Rightarrow\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d} [/tex3]

(ii) [tex3]\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \Rightarrow\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d} [/tex3]

(iii) [tex3]\frac{a}{b}=\frac{c}{d} =\frac{a+c}{b+d} = \frac{a-c}{b-d} [/tex3]


Com isso em mente

[tex3]\frac{a}{b}+\frac{a+10b}{b+10a}=2[/tex3]

[tex3]\frac{a+10b}{b+10a}=\frac{2b-a}{b}[/tex3]

Aplicando (ii):

[tex3]\frac{a+10b-(b+10a)}{b+10a}=\frac{2b-a-(b)}{b}[/tex3]

[tex3]\frac{a-b+10(b-a)}{b+10a}=\frac{b-a}{b}[/tex3]

Aplicando (iii):

[tex3]\frac{a-b+10(b-a)}{b+10a}=\frac{b-a}{b} = \frac{a-b+9(b-a)}{10a} [/tex3]

Vamos simplificar essas últimas duas igualdades:
[tex3]\frac{b-a}{b} = \frac{8(b-a)}{10a} [/tex3]

[tex3]\frac{a}{b} = \frac{8}{10} = 0,8 [/tex3]