Pré-Vestibular ⇒ UEM - 2009 - GA

[Usuário Excluído 31637]

A figura abaixo ilustra o símbolo olímpico representado em um sistema de coordenadas artesianas ortogonais.

As cinco circunferências C1, C2, C3, C4 e C5 têm todas raios iguais a 3cm. C3 é centrada na origem do sistema e C1 e C5 têm os centros no eixo das abscissas equidistantes da origem. Os centros de C2 e C4 têm mesma ordenada negativa e situam-se a 2\sqrt(6) cm da origem. As circunferências C₂ e C₃ interceptam-se em dois pontos, sendo um deles de coordenadas ( -3, 0).

Com relação ao exposto, assinale a(s) alternativa(s) correta(s).

01) A equação reduzida da circunferência C₂ é 2 (x + 4)^2 + (y +2√2)^2=9.

02) Os centros de C₂ e C₄ estão a 2√2 cm do eixo das ordenadas.

04) O par de coordenadas de um dos pontos de interseção das circunferências C₃ e C₄ é (3, -2√2).

08) O ponto de coordenadas ( -10, √5) pertence a uma das circunferências do símbolo olímpico.

16) A circunferência C₅ pode ser descrita pela equação x² -16x +y² +54 = 0.

Não tenho as respostas, infelizmente.

[GiovanaMSPMOD]

https://www.geogebra.org/classic/m2yxtnqu

Por Pitágoras:

[tex3]\mathrm{h=\sqrt{(3)^2-\left(\sqrt{6}\right)^2}\ \therefore\ h=\sqrt{3}}[/tex3]

Da trigonometria do problema:

[tex3]\mathrm{tan(\theta)=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}\ \therefore\ tan(\theta )=\frac{\sqrt{2}}{2}}[/tex3]

Deste modo, o centro da circunferência [tex3]\mathrm{C_2}[/tex3] pertence à reta [tex3]\mathrm{y=\frac{\sqrt{2}}{2}x}[/tex3].

Agora, vamos às preposições.

Proposição 01: verdadeira.

O centro da circunferência [tex3]\mathrm{C_2}[/tex3] é da forma [tex3]\mathrm{\left(x,\frac{x\sqrt{2}}{2}\right)}[/tex3].

A distância do centro de [tex3]\mathrm{C_2}[/tex3] à origem é dada por:

[tex3]\mathrm{\left(x-0\right)^2+\left(\frac{x\sqrt{2}}{2}\right)^2=\left(2\sqrt{6}\right)^2\ \therefore\ x=-4\ \therefore\ y=-2\sqrt{2}}[/tex3]

Deste modo, [tex3]\mathrm{C_2}[/tex3] é dada por: [tex3]\mathrm{\left(x+4\right)^2+\left(x+2\sqrt{2}\right)^2=9}[/tex3]

Proposição 02: falsa.

Sendo o centro de [tex3]\mathrm{C_2}[/tex3] dado por [tex3]\mathrm{\left(-4,-2\sqrt{2}\right)}[/tex3], por simetria o centro de [tex3]\mathrm{C_4}[/tex3] é dado por [tex3]\mathrm{\left(4,-2\sqrt{2}\right)}[/tex3].

A meu ver, os centros de ambas as circuferências estão a [tex3]\mathrm{2\sqrt{2}}[/tex3] do eixo das abcissas.

Proposição 04: falsa.

Da proposição 02 concluímos que o centro de [tex3]\mathrm{C_4}[/tex3] é dado por [tex3]\mathrm{\left(4,-2\sqrt{2}\right)}[/tex3]. Assim, sua equação de circunferência é dada por [tex3]\mathrm{(x-4)^2+\left(y+2\sqrt{2}\right)^2=9}[/tex3].

Da intersecção entre [tex3]\mathrm{C_3}[/tex3] e [tex3]\mathrm{C_4}[/tex3] concluímos que:

[tex3]\begin{cases}
\mathrm{x^2+y^2=3} \\
\mathrm{(x-4)^2+\left(y+2\sqrt{2}\right)^2=9}
\end{cases}\ \therefore\ \mathrm{S= \left\{\left(1,-2\sqrt{2}\right),\left(3,0\right) \right\}}[/tex3].

Proposição 08: verdadeira.

O centro de [tex3]\mathrm{C_1}[/tex3] é da forma [tex3]\mathrm{(x,0)}[/tex3]

Da simetria do problema, a distância entre os centros de [tex3]\mathrm{C_1}[/tex3] e [tex3]\mathrm{C_2}[/tex3] corresponde a [tex3]2\sqrt{6}[/tex3]. Assim:

[tex3]\mathrm{(x+4)^2+\left(0+2\sqrt{2}\right)^2=\left(2\sqrt{6}\right)^2\ \therefore\ x=-8}[/tex3]

Deste modo, a equação de [tex3]\mathrm{C_1}[/tex3] é dada por: [tex3]\mathrm{(x+8)^2+y^2=9}[/tex3]. Agora, vamos testar se o ponto [tex3]\left(-10,\sqrt{5}\right)\in \mathrm{C_1}[/tex3]:

[tex3]\mathrm{(-10+8)^2+\left(-\sqrt{5}\right)^2=9\to 4+5=9\ \therefore\ 9=9 \to Ok\ \therefore \left(-10,\sqrt{5}\right)\in \mathrm{C_1}}[/tex3]

Proposição 16: falsa.

Pela simetria do problema, a equação de [tex3]\mathrm{C_5}[/tex3] é dada por: [tex3]\mathrm{(x-8)^2+y^2=9}[/tex3], o que equivale a [tex3]\mathrm{x^2-16x+y^2+55=0}[/tex3].

Assim, as proposições verdadeira são: 01 e 08.

[Usuário Excluído 31637]

Muitíssimo obrigado, Giovana! Me ajudou demais!

[GiovanaMSPMOD]

Disponha!