Física I ⇒ Rotação de corpos rígidos

[CherryBoy]

A figura mostra um conjunto de engrenagens em uma caixa de transmissão. A engrenagem A tem aceleração constante de αA= 86 rad/s². Os raios das engrenagens são rA=14mm, rB=58mm, rC=21mm e rD=65mm. A figura é esquemática e pode não estar em proporção com os dados do problema.
a) Calcule o tempo necessário para a engrenagem D atingir 1050 rpm.
b) Calcule o número de revoluções que a engrenagem D percorre até atingir 1050 rpm.

[παθμ]

CherryBoy, sejam [tex3]\alpha[/tex3] as acelerações angulares.

Condição de não-deslizamento entre A e B: [tex3]\alpha_A r_A = \alpha_B r_B \Longrightarrow \alpha_B = \frac{\alpha_A r_A}{r_B}.[/tex3]

Como C é concêntrica a B, [tex3]\alpha_C =\alpha_B.[/tex3]

Não-deslizamento entre D e C: [tex3]\alpha_D r_D = \alpha_C r_C \Longrightarrow \alpha_D = \frac{\alpha_C r_C}{r_D}=\frac{\alpha_A r_A r_C}{r_B r_D}.[/tex3]

Inserindo valores numéricos: [tex3]\alpha_D = 86 \; \text{rad/s}^2 \cdot \frac{14 \cdot 21}{58 \cdot 65} \approx 6,7066 \; \text{rad/s}^2.[/tex3]

Para converter para rotações por minuto ao quadrado:

[tex3]1 \text{rot} = 2\pi \; \text{rad} \Longrightarrow 1 \; \text{rad}=\frac{1}{2\pi} \text{rot}. [/tex3]

[tex3]1 \; \text{min}=60 \; \text{s} \Longrightarrow 1 \; \text{s}^2=\frac{1}{3600} \; \text{min}^2.[/tex3]

[tex3]\alpha_A = 6,7066 \cdot \frac{1}{2\pi} \cdot 3600 \; \text{rot/min}^2 \approx 3843 \; \text{rot/min}^2.[/tex3]


(a) [tex3]\omega = \alpha t \Longrightarrow t=\frac{1050}{3843} \; \text{min} \approx \boxed{16,4 \; \text{s}.}[/tex3]


(b) [tex3]\theta = \frac{\alpha t^2}{2} = \frac{1}{2} \cdot 3843 \cdot \left(\frac{1050}{3843}\right)^2 \; \text{rot}\approx\boxed{143 \; \text{rot}.}[/tex3]