Ensino Superior ⇒ taxa de variação Tópico resolvido

[beagle]

O potencial elétrico V em volts no ponto P(x,y,z) é dado por [tex3]V(x,y,z)=110(x^2+y^2+z^2)[/tex3] no ponto P(1,1,1)

a) a taxa de variação da temperatur na direção do vetor i
b) a taxa de variação da temperatur na direção do vetor j
c) a taxa de variação da temperatur na direção do vetor k

[Cardoso1979]

Observe

O potencial elétrico V em volts no ponto P(x,y,z) é dado por [tex3]V(x,y,z)=110(x^2+y^2+z^2)[/tex3] no ponto P(1,1,1)

a) a taxa de variação da temperatura na direção do vetor i

Uma solução:

Temos que o vetor é [tex3]\vec{u}[/tex3] = 1.[tex3]\vec{i}[/tex3] + 0.[tex3]\vec{j}[/tex3] + 0.[tex3]\vec{k}[/tex3] , ou seja , [tex3]\vec{u}[/tex3] = ( 1 , 0 , 0 ).


Cálculo do vetor gradiente no ponto P ( 1 , 1 , 1 ) :

∇V( x , y , z ) = ( 220x , 220y , 220z )

∇V( 1 , 1 , 1 ) = ( 220 , 220 , 220 )


Normalização do vetor [tex3]\vec{u}[/tex3] :

[tex3]\vec{v} = \frac{\vec{u}}{| \vec{u} |}[/tex3] = ( 1 , 0 , 0 )/[ √( 1² + 0² + 0² ) ] = ( 1 , 0 , 0 ).

Assim, a taxa de variação da temperatura na direção do vetor [tex3]\vec{i}[/tex3] é dada por:

[tex3]D_{\vec{v}}[/tex3] V( 1 , 1 , 1 ) = ∇V( 1 , 1 , 1 ).[tex3]\vec{v}[/tex3] = ( 220 , 220 , 220 ).( 1 , 0 , 0 ) = 220.


Excelente estudo!