Pré-Vestibular ⇒ Potenciação- Portal OBMEP Tópico resolvido

[K1llua]

Olá, alguém poderia me ajudar? Não entendi a resolução dessa questão:

Exercício 14. As potências 2ⁿ e 5ⁿ , onde n é um inteiro positivo, começam com o mesmo algarismo d. Qual é este algarismo?

Resolução:

Resposta

---

Representemos os dígitos desconhecidos de 2ⁿ e 5ⁿ com asteriscos. Se k e l são as quantidades de algarismos de cada um deles, temos:

d · 10^k < d ***...* = 2ⁿ < (d + 1) · 10^k
d · 10^l < d***...* =5ⁿ < (d + 1) · 10^l

Multiplicando ambas as inequações, obtemos:

10^k+l· d² < 10ⁿ< 10^k+l · (d + 1)²

Cancelando 10^k+l em ambos os lados, concluímos que existe uma potência de 10 entre d² e (d + 1)². Analisando os quadrados dos dígitos de 1 até 9, percebemos que isso ocorre apenas para d = 3 (3²< 10 < 4²).

[deOliveira]

Vou fazer a solução que você apresentou tentando explicar cada passo.

[tex3]2^n[/tex3] tem [tex3]k[/tex3] algarísmos e [tex3]5^n[/tex3] tem [tex3]l[/tex3] algarismos desconhecidos. Então, representando os algarismos descanhecidos por asteriscos temos
[tex3]2^n=d\underbrace{****************}_k\\5^n=d\underbrace{**********************************}_l[/tex3]
Come se tratam de potências de [tex3]2[/tex3] e [tex3]5[/tex3] sabemos que todos esses algarismos não são zeros, daí tiramos as primeiras desigualdes
[tex3]d\cdot10^k<2^n\\d\cdot 10^l<5^n[/tex3]
Agora, a outra desigualdade vem do fato de que como os números começam com o algarismo [tex3]d[/tex3], eles são menores do que o némero que começa com [tex3]d+1[/tex3] e tem a mesma quantidade de algarismos, sejam quais foresm os demais algarismos. Então, eles podem ser todos zeros, assim,
[tex3]2^n<(d+1)\cdot10^k\\5^n<(d+1)\cdot 10^l[/tex3]
Então, ficamos com
[tex3]d\cdot10^k<2^n<(d+1)\cdot10^k\\d\cdot 10^l<5^n<(d+1)\cdot10^l[/tex3]
Multiplicando as duas inequações ficamos com
[tex3]d^2\cdot10^{k+l}<10^n<(d+1)^2\cdot 10^{k+l}[/tex3]
Simplificando [tex3]10^{k+l}[/tex3], ficamos com
[tex3]d^2<10^{n-k-l}<(d+1)^2[/tex3]
E isso implica que existe uma potência de [tex3]10[/tex3] entre [tex3]d^2[/tex3] e [tex3](d+1)^2[/tex3].
Aí a gente testa os valores de [tex3]1[/tex3] a [tex3]9[/tex3] para [tex3]d[/tex3]
[tex3]d=1\implies d^2=1[/tex3] e [tex3](d+1)^2=4[/tex3] não tem um potência de [tex3]10[/tex3] entre [tex3]1[/tex3] e [tex3]4[/tex3].
[tex3]d=2\implies d^2=4[/tex3] e [tex3](d+1)^2=9[/tex3] não tem um potência de [tex3]10[/tex3] entre [tex3]4[/tex3] e [tex3]9[/tex3].
[tex3]d=3\implies d^2=9[/tex3] e [tex3](d+1)^2=16[/tex3] tem um potência de [tex3]10[/tex3] entre [tex3]9[/tex3] e [tex3]16[/tex3].
[tex3]d=4\implies d^2=16[/tex3] e [tex3](d+1)^2=25[/tex3] não tem um potência de [tex3]10[/tex3] entre [tex3]16[/tex3] e [tex3]25[/tex3].
[tex3]d=5\implies d^2=25[/tex3] e [tex3](d+1)^2=36[/tex3] não tem um potência de [tex3]10[/tex3] entre [tex3]25[/tex3] e [tex3]36[/tex3].
[tex3]d=6\implies d^2=36[/tex3] e [tex3](d+1)^2=49[/tex3] não tem um potência de [tex3]10[/tex3] entre [tex3]36[/tex3] e [tex3]49[/tex3].
[tex3]d=7\implies d^2=49[/tex3] e [tex3](d+1)^2=64[/tex3] não tem um potência de [tex3]10[/tex3] entre [tex3]49[/tex3] e [tex3]64[/tex3].
[tex3]d=8\implies d^2=64[/tex3] e [tex3](d+1)^2=81[/tex3] não tem um potência de [tex3]10[/tex3] entre [tex3]64[/tex3] e [tex3]81[/tex3].
[tex3]d=9\implies d^2=81[/tex3] e [tex3](d+1)^2=100[/tex3] não tem um potência de [tex3]10[/tex3] entre [tex3]81[/tex3] e [tex3]100[/tex3].
Portanto, [tex3]d=3[/tex3].
Espero ter ajudado.

[K1llua]

Vou fazer a solução que você apresentou tentando explicar cada passo.

[tex3]2^n[/tex3] tem [tex3]k[/tex3] algarísmos e [tex3]5^n[/tex3] tem [tex3]l[/tex3] algarismos desconhecidos. Então, representando os algarismos descanhecidos por asteriscos temos
[tex3]2^n=d\underbrace{****************}_k\\5^n=d\underbrace{**********************************}_l[/tex3]
Come se tratam de potências de [tex3]2[/tex3] e [tex3]5[/tex3] sabemos que todos esses algarismos não são zeros, daí tiramos as primeiras desigualdes
[tex3]d\cdot10^k<2^n\\d\cdot 10^l<5^n[/tex3]
Agora, a outra desigualdade vem do fato de que como os números começam com o algarismo [tex3]d[/tex3], eles são menores do que o némero que começa com [tex3]d+1[/tex3] e tem a mesma quantidade de algarismos, sejam quais foresm os demais algarismos. Então, eles podem ser todos zeros, assim,
[tex3]2^n<(d+1)\cdot10^k\\5^n<(d+1)\cdot 10^l[/tex3]
Então, ficamos com
[tex3]d\cdot10^k<2^n<(d+1)\cdot10^k\\d\cdot 10^l<5^n<(d+1)\cdot10^l[/tex3]
Multiplicando as duas inequações ficamos com
[tex3]d^2\cdot10^{k+l}<10^n<(d+1)^2\cdot 10^{k+l}[/tex3]
Simplificando [tex3]10^{k+l}[/tex3], ficamos com
[tex3]d^2<10^{n-k-l}<(d+1)^2[/tex3]
E isso implica que existe uma potência de [tex3]10[/tex3] entre [tex3]d^2[/tex3] e [tex3](d+1)^2[/tex3].
Aí a gente testa os valores de [tex3]1[/tex3] a [tex3]9[/tex3] para [tex3]d[/tex3]
[tex3]d=1\implies d^2=1[/tex3] e [tex3](d+1)^2=4[/tex3] não tem um potência de [tex3]10[/tex3] entre [tex3]1[/tex3] e [tex3]4[/tex3].
[tex3]d=2\implies d^2=4[/tex3] e [tex3](d+1)^2=9[/tex3] não tem um potência de [tex3]10[/tex3] entre [tex3]4[/tex3] e [tex3]9[/tex3].
[tex3]d=3\implies d^2=9[/tex3] e [tex3](d+1)^2=16[/tex3] tem um potência de [tex3]10[/tex3] entre [tex3]9[/tex3] e [tex3]16[/tex3].
[tex3]d=4\implies d^2=16[/tex3] e [tex3](d+1)^2=25[/tex3] não tem um potência de [tex3]10[/tex3] entre [tex3]16[/tex3] e [tex3]25[/tex3].
[tex3]d=5\implies d^2=25[/tex3] e [tex3](d+1)^2=36[/tex3] não tem um potência de [tex3]10[/tex3] entre [tex3]25[/tex3] e [tex3]36[/tex3].
[tex3]d=6\implies d^2=36[/tex3] e [tex3](d+1)^2=49[/tex3] não tem um potência de [tex3]10[/tex3] entre [tex3]36[/tex3] e [tex3]49[/tex3].
[tex3]d=7\implies d^2=49[/tex3] e [tex3](d+1)^2=64[/tex3] não tem um potência de [tex3]10[/tex3] entre [tex3]49[/tex3] e [tex3]64[/tex3].
[tex3]d=8\implies d^2=64[/tex3] e [tex3](d+1)^2=81[/tex3] não tem um potência de [tex3]10[/tex3] entre [tex3]64[/tex3] e [tex3]81[/tex3].
[tex3]d=9\implies d^2=81[/tex3] e [tex3](d+1)^2=100[/tex3] não tem um potência de [tex3]10[/tex3] entre [tex3]81[/tex3] e [tex3]100[/tex3].
Portanto, [tex3]d=3[/tex3].
Espero ter ajudado.

Muito obrigada!!! Você me ajudou demais