Olimpíadas ⇒ (OBM-2014)- Ponteiro dos relógios

[K1llua]

Todo relógio analógico tem pelo menos dois ponteiros: um para mostrar a hora e o outro mais comprido para mostrar o minuto. Joãozinho percebeu
que esses ponteiros às vezes ficam alinhados, opostos ou então sobrepostos, como na figura.

Quantas vezes isto acontece entre às 7 horas da manhã de um dia até às 7 horas da manhã do dia seguinte?
A) 40 B) 44 C) 45 D) 46 E) 47

Gabarito:

Resposta

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Percebemos que das 7h da manhã às 7h da noite há 22 ocorrências. Logo, das 7h da
noite às 7h da manhã do dia seguinte há mais 22 ocorrências. Ou seja, ficam alinhados,
opostos ou então sobrepostos, 22+22 = 44 vezes.

Para o horário de 12h, 06h, 18h, 00h é muita fácil perceber que os ponteiros estarão alinhados, mas como faço para perceber essa ocorrência em outros horários? Fazendo o trabalho de contar de hora em hora e imaginar o relógio mesmo? Ou há algum método mais fácil?

Alguém poderia me ajudar? Por favor.

[FelipeOBala]

Boa tarde!

Primeiro perceba um quase padrão(kkk, tem uma quebra que eu vou falar no segundo parágrafo) entre uma hora e outra tem uma sobreposição e uma oposição, nesse caso seriam 48 vezes que eles ficam sobrepostos ou opostos.

Agora veja que, sempre quando o ponteiro das horas está entre 11 e 1; 5 e 7 há uma oposição ou sobreposição há menos, no 1° caso tem uma sobreposição a menos e no 2° tem uma oposição a menos.

logo como como o ponteiro passa em ambos setores 2 vezes, o total de sobreposições e oposições é [tex3]48-2\cdot2 \therefore44[/tex3]