Ensino Superior ⇒ Geometria com régua e compasso

[Renadeca]

Boa noite a todos!

Alguém poderia me ajudar com o algoritmo da construção geométrica com régua e compasso de uma circunferência que passa pelo ponto D e é tangente as retas r e s?

duv.png (2.79 KiB) Exibido 274 vezes

[rcompany]

[tex3]
\text{Seja $O$ a intersecção das retas $r$ e $s$, e $R$ e $S$ dois pontos respetivamente de $r$ e $s$, equidistantes de $O$}.\\
\text{Qualquer círculo tangente a $r$ e $s$ ao mesmo tempo tem seu centro na bissetriz do ângulo $\widehat{ROS}$}\\
\text{Vamos começar com a bissetriz:}\\
\text{- desenhar um círculo qualquer de centro $O$ e notar $R$ e $S$ suas intersecções com $r$ e $s$} \\
\text{- para achar a bissetriz, basta desenhar dois círculos de mesmo raio e de centros $R$ e $S$. Suas intersecções $B_1$ e $B_2$}\\
\text{formam a reta bissetriz de $\widehat{ROS}$}\\
[/tex3]
https://www.geogebra.org/geometry/kwpxpxcj
[tex3]
\text{As perpendiculares a $r$ em $R$ e a $s$ em $S$ cruzam a bissetriz $(B_1B_2)$ num ponto $B$ já que $R$ e $S$ são equidistantes}\\
\text{de $O$}\\
\text{Para desenhar a perpendicular a $r$ em $R$ basta desenhar um círculo de centro $R$ que corta $r$ em $R_1$ e $R_2$}\\
\text{ e achar a bissetriz de $\widehat{R_1RR_2}$ do mesmo jeito que fizemos para $\widehat{ROS}$.}\\
\text{Como $\widehat{R_1RR_2}$ é ângulo raso sua bissetriz corta $R$ num ângulo reto,}\\
\text{ i.e. a bissetriz de $\widehat{R_1RR_2}$ é perpendicular a $R$.}\\
\text{E por simetria em relação a $(B_1B_2)$, $(BS)$ também é perpendicular a $S$ e $|RB|=|RS|$}
[/tex3]
https://www.geogebra.org/geometry/tt2bymg9

[tex3]
\text{O círculo de centro $B$ e raio $|BR|$ é tangente a $r$ e $s$, e corta $(OD)$ em $C$. Vemos que existem uma infinidade de círculos}\\
\text{ cujos centros pertencem a $(OB)$ e que são tangentes a $r$ e $s$.}\\
\text{Na figura seguinte desenhamos um círculo de centro $B'$ que corta $(OD)$ em $C'$ e que é tangente a $r$ e $s$ em $R'$ e $S'$}\\
\text{Vemos que o segundo círculo é a imagem do primeiro por uma homotetia de razão não nula, e então podemos}\\
\text{ concluir que $(BC)$ é paralela a $(B'C')$}
[/tex3]

https://www.geogebra.org/geometry/xs9kzxqw

[tex3]
\text{Para achar o círculo tangente a $r$ e $s$ que contém $D$, basta traçar a reta paralela a $(CB)$ que passa por $D$.}\\
\text{Essa reta tem como intersecção com $(OB)$ o ponto $B''$ que é o centro de um círculo de raio $|B''D|$}\\
\text{(que por definição contém $D$) e tangente às retas $r$ e $s$}
[/tex3]

https://www.geogebra.org/geometry/ywvmgdez


[tex3]
\text{Para traçar uma paralela a uma reta $D$ que passe pelo ponto $c$ com compasso:}\\
\text{- tração qualquer círculo $\mathcal{C_a}$ que cruze a reta em $c_1$ e $c_2$}\\
\text{- traçar $\mathcal{C_b}$ e $\mathcal{C_c}$ de centros $c_1$ e $c_2$ e raio $|c_1c_2|$}\\
\text{- a reta forma pela duas intersecções de $\mathcal{C_b}$ e $\mathcal{C_c}$ é a perpendicular a $D$ que passa por $c$}\\
\text{- $c_3$ e $c_4$ as intersecções entre $\mathcal{C_a}$ e a reta perpendicular a $D$ que passa por $c$}\\
\text{- traçar $\mathcal{C_d}$ e $\mathcal{C_e}$ de centros $c_3$ e $c_4$ e raio $|c_3c_4|$}\\
\text{- as duas intersecções de $\mathcal{C_d}$ e $\mathcal{C_e}$ formam a reta perpendicular a $(c_3c_4)$ que passa por $c$}\\
\text{- essa última reta é a paralela a $D$ que passa por $c$}
[/tex3]

https://www.geogebra.org/geometry/tsgywf2m

[Renadeca]

Muito obrigado amigo, irei seguir o passo a passo e tentar construir!