Olimpíadas ⇒ Olimpíada do Pará-11 Tópico resolvido

[K1llua]

Sejam [tex3]a, b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] números reais não nulos tais que [tex3]a+b+c=0[/tex3] e [tex3]a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5[/tex3]. Calcule o valor de [tex3]a^2+b^2+c^2[/tex3].


Gabarito

Resposta

---

[tex3]6/5[/tex3]

Alguém poderia me ajudar, por favor?

[petrasMOD]

K1llua,


Usar a condição a + b + c = 0
Sabemos que, quando a soma dos termos é zero, temos a seguinte identidade útil:

\[
a^3 + b^3 + c^3 = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc) + 3abc
\]

Como a + b + c = 0, essa fórmula se simplifica para:

\[
a^3 + b^3 + c^3 = 3abc
\]

Logo, podemos substituir na condição 2:

\[
3abc = a^5 + b^5 + c^5
\]

Sabemos que:

\[
a^5 + b^5 + c^5 = (a + b + c)(a^4 + b^4 + c^4) - (ab + ac + bc)(a^3 + b^3 + c^3) + abc(a^2 + b^2 + c^2)
\]

Como a + b + c = 0, isso se reduz a:

\[
a^5 + b^5 + c^5 = -(ab + ac + bc)(a^3 + b^3 + c^3) + abc(a^2 + b^2 + c^2)
\]

Substituímos a condição [tex3]a^3 + b^3 + c^3 = 3abc[/tex3]:

\[
a^5 + b^5 + c^5 = -(ab + ac + bc)(3abc) + abc(a^2 + b^2 + c^2)
\]

Sabemos que [tex3]a^5 + b^5 + c^5 = 3abc[/tex3], então igualamos as expressões:

\[
3abc = -3abc(ab + ac + bc) + abc(a^2 + b^2 + c^2)
\]

Dividimos tudo por (abc) (sabemos que ([tex3]abc \neq 0[/tex3])):

\[
3 = -3(ab + ac + bc) + (a^2 + b^2 + c^2)
\]

Passando os termos:

\[
a^2 + b^2 + c^2 = 3 + 3(ab + ac + bc)
\]


Sabemos que a + b + c = 0. Podemos também usar:

\[
(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) = 0
\]

Logo:

\[
a^2 + b^2 + c^2 = -2(ab + ac + bc)
\]

Substituímos essa expressão na equação que encontramos antes:

\[
-2(ab + ac + bc) = 3 + 3(ab + ac + bc)
\]

Somando tudo em relação a \((ab + ac + bc)\):

\[
-2(ab + ac + bc) - 3(ab + ac + bc) = 3
\]

\[
-5(ab + ac + bc) = 3
\]

\[
ab + ac + bc = -\frac{3}{5}
\]

Substituir na fórmula final

\[
a^2 + b^2 + c^2 = -2(ab + ac + bc)
\]

Substituímos o valor encontrado:

\[
a^2 + b^2 + c^2 = -2\left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{6}{5}
\]

[K1llua]

K1llua,


Usar a condição a + b + c = 0
Sabemos que, quando a soma dos termos é zero, temos a seguinte identidade útil:

\[
a^3 + b^3 + c^3 = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc) + 3abc
\]

Como a + b + c = 0, essa fórmula se simplifica para:

\[
a^3 + b^3 + c^3 = 3abc
\]

Logo, podemos substituir na condição 2:

\[
3abc = a^5 + b^5 + c^5
\]

Sabemos que:

\[
a^5 + b^5 + c^5 = (a + b + c)(a^4 + b^4 + c^4) - (ab + ac + bc)(a^3 + b^3 + c^3) + abc(a^2 + b^2 + c^2)
\]

Como a + b + c = 0, isso se reduz a:

\[
a^5 + b^5 + c^5 = -(ab + ac + bc)(a^3 + b^3 + c^3) + abc(a^2 + b^2 + c^2)
\]

Substituímos a condição [tex3]a^3 + b^3 + c^3 = 3abc[/tex3]:

\[
a^5 + b^5 + c^5 = -(ab + ac + bc)(3abc) + abc(a^2 + b^2 + c^2)
\]

Sabemos que [tex3]a^5 + b^5 + c^5 = 3abc[/tex3], então igualamos as expressões:

\[
3abc = -3abc(ab + ac + bc) + abc(a^2 + b^2 + c^2)
\]

Dividimos tudo por (abc) (sabemos que ([tex3]abc \neq 0[/tex3])):

\[
3 = -3(ab + ac + bc) + (a^2 + b^2 + c^2)
\]

Passando os termos:

\[
a^2 + b^2 + c^2 = 3 + 3(ab + ac + bc)
\]


Sabemos que a + b + c = 0. Podemos também usar:

\[
(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) = 0
\]

Logo:

\[
a^2 + b^2 + c^2 = -2(ab + ac + bc)
\]

Substituímos essa expressão na equação que encontramos antes:

\[
-2(ab + ac + bc) = 3 + 3(ab + ac + bc)
\]

Somando tudo em relação a \((ab + ac + bc)\):

\[
-2(ab + ac + bc) - 3(ab + ac + bc) = 3
\]

\[
-5(ab + ac + bc) = 3
\]

\[
ab + ac + bc = -\frac{3}{5}
\]

Substituir na fórmula final

\[
a^2 + b^2 + c^2 = -2(ab + ac + bc)
\]

Substituímos o valor encontrado:

\[
a^2 + b^2 + c^2 = -2\left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{6}{5}
\]

Muito obrigada!