Pré-Vestibular ⇒ (OSEC-1982) Logarítmo Tópico resolvido

[jose carlos de almeida]

A equação: [tex3]\log_x(4x-x^2)=(\log_2\cdot \log_2{n})\cdot \log_x2[/tex3],na qual n é inteiro positivo, apresenta soluções inteiras. Assinale nas escolhas abaixo a soma dos valores de [tex3]n[/tex3], para as quais essas soluções são inteiras.

a) 34
b) 20
c) 48
d) 18
e) 24

Resposta

---

e

[jrneliodias]

Dá uma revisada, está faltando um logaritmando. Abraço.

[jose carlos de almeida]

Caro jrneliodias,a questão é exatamente como ai está,já olhei na prova e é isso mesmo.
Logarítmo na base x de (4x) - (x) ao quadrado=logarítmo na base 2 x logarítmo na base 2 de n x logarítmo na base x de 2
[tex3]\log_x(4x-x^2)=(\log_2\cdot\log_2n)\cdot\log_x2[/tex3]

[petrasMOD]

jose carlos de almeida,
O erro está em multiplicar [tex3]log_2.log_2n[/tex3]
O correto seria [tex3]\log_x(4x-x^2)=(\log_2(\log_2n))\cdot\log_x2[/tex3]

D: x> 0 e x [tex3]\neq 1[/tex3]
4x - x² > 0 [tex3]\rightarrow 0 < x <4[/tex3]
[tex3]\therefore 0 < x ,4 \wedge x \neq 1\\
n > 0 \wedge log_n2> 0 \implies n > 1[/tex3]

Aplicar as propriedades dos logaritmos
\[
\log_x(4x - x^2) = \log_x 2^{\log_2(\log_2 n)}
\]

\[
(4x - x^2) = 2^{\log_2(\log_2 n)}
\]

Sabemos que:
\[
2^{\log_2(\log_2 n)} = \log_2 n
\]

Então, a equação fica:
\[
4x - x^2 = \log_2 n
\]

\[
x^2 - 4x + \log_2 n = 0
\]

A solução inteira x só ocorre se o discriminante da equação for um quadrado perfeito:

\[
\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \log_2 n
\]
\[
\Delta = 16 - 4\log_2 n
\]

\[
16 - 4\log_2 n = k^2
\]

Então:
\[
\log_2 n = \frac{16 - k^2}{4}
\]
[tex3]n = 2^{ \frac{16 - k^2}{4}}\\
k^2 = 0 \implies log_2n =4 \therefore n = 16\\
k^2 = 1\implies log_2n =\frac{15}{4} \therefore n \notin \mathbb{Z}\\
k^2 = 4\implies log_2n =3 \therefore n = 8\\
k^2 = 9\implies log_2n =\frac{7}{4} \therefore n \notin \mathbb{Z}\\
k^2 = 16\implies log_2n =1 \therefore \cancel{n = 1}(n >1)\\
[/tex3]

Soma dos valores:
\[
16 + 8 = 24
\]