Ensino Médio ⇒ (UERN-2013) Progressão geométrica

[Gabrielamed]

Hola.

[tex3](4x – 3)^2=(x+1)*(9x+9)\\
16x^2-24x+9=9x^2+9x+9x+9\\
16x^2-9x^2-24x+\cancel{9}-9x-9x\cancel{-9}=0\\
7x^2-42x=0\\
7x*(x-6)=0[/tex3]

[tex3]7x=0\\
x=0[/tex3]
não se aplica

[tex3]x-6=0\\
x=6[/tex3]

Logo:
[tex3]q=\frac{(4x-3)}{(x+1)}\\
q=\frac{(4*6-3)}{(6+1)}\\
q=\frac{(24-3)}{7}\\
q=\frac{21}{7}\\
q=3[/tex3]

Letra C)
Méritos ao Elcio.

Alguém poderia me explicar melhor o começo da resolução? Qual foi o ponto de partida?
O resto ficou claro, só o começo que não
Agradeço desde já

[petrasMOD]

Gabrielamed,

Propriedade da PG: o termo médio ou central de uma PG com um número ímpar de termos calculamos a média geométrica com o primeiro e último termo (a1 e an):

[tex3]a_m=\sqrt{a_1.a_n}~ou~\boxed{a_m^2 = a_1.a_n}\\
Ex: (2,4,8)\implies 4^2 = 2.8[/tex3]

[Gabrielamed]

Não consigo marcar como solução aceita, porque não fui eu que iniciei o tópico, mas agora compreendi sim. Inclusive não conhecia essa propriedade, acredito que possa me ajudar em outras questões também. Obrigada!!!

[JigsawMOD]

@cajuADMIN poderia indicar qual seria a melhor resolução dentre as apresentadas?

[rcompany]

Enunciado mal redigido: deveria dizer

"para que [tex3]\exists x\in\mathbb{Z}[/tex3] tal que [tex3]f(x), g(x), h(x)[/tex3] formem, nessa ordem, uma progressão geométrica."

e como verão tem um erro na definição de [tex3]h(x)[/tex3]


[tex3]\left.\begin{array}{rl}
f(x)=x+1\\
g(x)=4x-3\\
h(x)=9x-9\\
\exists x\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{R}/h(x)=q\cdot g(x)=q^2\cdot f(x)
\end{array}\right\}
\implies \frac{9x-9}{4x-3}=\frac{4x-3}{x+1}\implies 7x^2-24x+18=0\implies x=\frac{24\pm6\sqrt{2}}{14}=\frac{12\pm3\sqrt{2}}{7}\not\in\mathbb{Z}\\
\\
[/tex3]
Porém com [tex3]h(x)=9x+9[/tex3] fica obvio que [tex3]q^2=9[/tex3] já que [tex3]h(x)=9f(x)[/tex3] e então [tex3]|q|=3[/tex3]
Basta verificar que funciona com [tex3]f[/tex3] e [tex3]g[/tex3]:
[tex3]4x-3=3x+3\implies x=6\text{ e 6}\in\mathbb{Z}\quad\text{funciona}\\
4x-3=-3x-3\implies x=0\text{ e }0\in\mathbb{Z}\quad\text{funciona}[/tex3]