ITA 1959 ⇒ (ITA-1959) (Apenas para Consulta) - Prova Completa

[petrasMOD]

CENTRO TÉCNICO DE AERONÁUTICA
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA
CONCURSO DE ADMISSÃO DE 1959 - EXAME DE MATEMÁTICA
Tompo do exame : 4 horas
Instruções:
a) Os rascunhos não serão considerados na correção das provas;
b) Esta folha deverá ser dovolvida juntamento com a prova.


PARTE - I

Das 5 afirmativas seguintes, apenas 3 são verdadeiras. Assinale e demonstre as afirmativas verdadeiras.

1 - [tex3]\lim_{x \rightarrow 1}\frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt[p]{x}-1}=\frac{p}{n}[/tex3]
2 – Na equação [tex3]x^3+ax^2+bx-\sqrt{2}=0[/tex3], existem valores para a e b tais que o produto das raízes da equação é um número inteiro.
3 – [tex3]log_a3+log_a\frac{3}{3a-1}+1=log_a(3+\frac{3}{3a-1})[/tex3], qualquer que seja a > 0, [tex3]a\neq 1[/tex3], [tex3]a\neq \frac{1}{3}[/tex3].
4 – Se existirem x e y tais que [tex3]x>y[/tex3] e [tex3]a^x<a^y[/tex3], [tex3](a>0)[/tex3], então, existem z e w tais que [tex3]z>w[/tex3] e [tex3]a^z>a^w[/tex3].
5 – [tex3](1+x)^n\geq 1+nx[/tex3] onde n é um número inteiro positivo e x qualquer número maior ou igual a -1.

PARTE - II

Das 5 afirmativas seguintes, apenas 3 são verdadeiras. Assinale e demonstre as afirmativas verdadeiras.

1 – Existe uma progressão geométrica de 10 termos [tex3]a_1, a_2,\ ...\ , a_{10}[/tex3] de modo que [tex3]a_1=2, a_2=6[/tex3] e [tex3](a_{10})^{\frac{1}{8}}=3(2^{\frac{1}{8}})[/tex3].
2 – A equação [tex3]ax^3+bx^2+bx+a=0[/tex3] admite sempre duas raízes cujo produto é 1, quaisquer que sejam [tex3]a\neq 0[/tex3] e [tex3]b[/tex3].
3 – No desenvolvimento de [tex3](x+\frac{1}{x})^{2n+1}[/tex3], onde [tex3]n[/tex3] é inteiro positivo, pela fórmula do binômio de Newton, existe um termo que não depende de [tex3]x [/tex3].
4 – Para todo [tex3]x[/tex3] tal que [tex3](sen\ x)(cos\ x)\neq \frac{1}{2}[/tex3], tem-se
[tex3]tg^2(x+\frac{\pi}{4})+1=\frac{1}{\frac{1}{2}-(sen\ x)(cos\ x)}[/tex3]
5 – [tex3]sen x+sen\ y<0[/tex3] sempre que [tex3]\frac{\pi}{2}<x<\pi[/tex3], [tex3]-\frac{\pi}{2}<y<0[/tex3] e [tex3]x-y>\pi[/tex3].

PARTE - III

Das 5 afirmativas seguintes, apenas 3 são verdadeiras. Assinale e demonstre as afirmativas verdadeiras.

1 – Se [tex3]m[/tex3] e [tex3]p[/tex3] são números inteiros positivos tais que o número de combinações de [tex3]m[/tex3] objetos [tex3]p[/tex3] a [tex3]p[/tex3] seja igual ao número de combinações dos [tex3]m[/tex3] objetos [tex3]p-1[/tex3] a [tex3]p-1[/tex3] então, m é necessariamente ímpar.
2 –

[tex3]\begin{vmatrix}
1 & a & 2a+d \\
1 & b & 2b+d \\
1 & c & 2c+d \\
\end{vmatrix}[/tex3][tex3]\neq 0[/tex3]

3 – Inscreve-se um cubo [tex3]C[/tex3] em uma esfera [tex3]E[/tex3]. Nesse cubo inscreve-se uma esfera [tex3]E’[/tex3]. Inscreve-se um novo cubo [tex3]C’[/tex3] na esfera [tex3]E’[/tex3]. A área total do cubo [tex3]C’[/tex3] é [tex3]\frac{2}{3\pi }S[/tex3], onde S é a área da esfera [tex3]E[/tex3].
4 – Inscreve-se uma esfera em um cone circular reto cujo raio da base é [tex3]a>1[/tex3]. Então, [tex3]lr>h-a[/tex3], onde [tex3]h[/tex3] é a altura do cone, [tex3]l[/tex3] a sua geratriz e [tex3]r[/tex3] é o raio da esfera.
5 – A área lateral do tronco de pirâmide regular é igual ao produto do apótema pela soma dos perímetros das bases.