Pré-Vestibular ⇒ (Rufino Vol.0)- Frações Algébricas Tópico resolvido

[K1llua]

Mostre que se [tex3]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}[/tex3] então [tex3]\frac{1}{a^{n}}+\frac{1}{b^{n}}+\frac{1}{c^{n}}=\frac{1}{a^{n}+b^{n}+c^{n}}[/tex3].


Obs: A questão não possui resolução.


Por gentileza, alguém poderia me ajudar?

[dantasWT]

[tex3]

\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c} \\\\ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c} \\\\ \frac{a+b}{ab}=\frac{-a-b}{c.(a+b+c)} \\\\ a=-b \implies a^{2k+1}=-b^{2k+1} \\\\ \implies \cancel{\frac{1}{a^{2k+1}}}+\cancel{\frac{1}{b^{2k+1}}}+\frac{1}{c^{2k+1}}=\frac{1}{\cancel a^{2k+1}+\cancel b^{2k+1}+c^{2k+1}} \\\\ a ≠ -b \implies c.(a+b+c)+ab=0 \\\\ a.(b+c)+c.(b+c)=0 \\\\ (a+c)(b+c)=0 \\\ \textup{analogamente, para a=-c ou b=-c também iram funcionar na expressão que queremos provar}

[tex3][/tex3]

[dantasWT]

A questão está faltando uma informação é que n tem que ser ímpar pra funcionar

[K1llua]

[quote=dantasWT post_id=307006 time=1740851492 user_id=30790]
[tex3]

\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c} \\\\ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c} \\\\ \frac{a+b}{ab}=\frac{-a-b}{c.(a+b+c)} \\\\ a=-b \implies a^{2k+1}=-b^{2k+1} \\\\ \implies \cancel{\frac{1}{a^{2k+1}}}+\cancel{\frac{1}{b^{2k+1}}}+\frac{1}{c^{2k+1}}=\frac{1}{\cancel a^{2k+1}+\cancel b^{2k+1}+c^{2k+1}} \\\\ a ≠ b \implies c.(a+b+c)+ab=0 \\\\ a.(b+c)+c.(b+c)=0 \\\\ (a+c)(b+c)=0 \\\ \textup{analogamente, para a=-c ou b=-c também funcionaram na expressão que queremos provar}

[tex3]
[/quote]

Muito obrigada pela resolução![/tex3]