Pré-Vestibular ⇒ UNB Exponencial

[ÁguiaB]

Estimar a quantidade de indivíduos da população mundial futura é um desafio complexo. O modelo logístico baseia-se na hipótese de que, com o passar dos anos, a população mundial deve estabilizar-se em certo valor A≠0 , denominado população limite. Segundo esse modelo, a população, P(t), de seres humanos no planeta, em bilhões de habitantes, a partir de 1987, obedece à equação
P(t)= 5A/[(A-5)^-rt +5]
em que t é a quantidade de anos a partir de 1987, que é o instante inicial e corresponde a t = 0; 5 bilhões é a população no ano de 1987; A é a população limite; e r é uma constante positiva. Com base nessas informações, julgue o próximo item.

Se a população mundial era de 6 bilhões em 1999 e de 7 bilhões em 2011, então, pelo modelo logístico, a população deverá estabilizar-se em 12 bilhões de habitantes.
A. CERTO
B. ERRADO

Resposta

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A

Alguém pode mostrar como chegar na resposta? Não faço ideia de como achar essa "estabilidade" da função

[AnthonyC]

Deve haver algum erro no enunciado, por que não é possível resolver com os dados presentes:

Conforme [tex3]t[/tex3] cresce, o valor de [tex3](A-5)^{-rt}+5={1\over (A-5)^{rt}}+5[/tex3] diminui. Como esse se encontra no denominador, então o valor de [tex3]{5A\over {(A-5)^{-rt}+5}}[/tex3] aumenta. Portanto a função [tex3]P(t)[/tex3] é crescente. Podemos ver que, para [tex3]t=0[/tex3]:
[tex3]P(0)={5A\over {(A-5)^{-r\cdot0}+5}}[/tex3]
[tex3]P(0)={5A\over {1+5}}[/tex3]
[tex3]P(0)={5\over 6}A[/tex3]
Supondo que a população limite seja [tex3]12[/tex3], então [tex3]A=12[/tex3]. Logo:
[tex3]P(0)={5\over 6}\cdot 12=10[/tex3]
Assim, dado que a função é crescente, a população sempre será maior que [tex3]10[/tex3] milhões. Então não é possível que a população seja [tex3]6[/tex3] ou [tex3]7[/tex3] milhões.

[JigsawMOD]

@cajuADMIN poderia confirmar se a resolução apresentada contempla a referida questão.