Olimpíadas ⇒ Circuncentro e Ortocentro Tópico resolvido

[EsleyPires]

Seja [tex3]ABC[/tex3] um triângulo de circuncentro [tex3]O[/tex3] e ortocentro [tex3]H[/tex3] tal que [tex3]∠BAC = 60º[/tex3] e [tex3]AB >AC[/tex3]. Sejam também [tex3]BE[/tex3], [tex3]CF[/tex3] as alturas relativas aos lados [tex3]CA[/tex3], [tex3]AB[/tex3], respectivamente, e [tex3]M[/tex3], [tex3]N[/tex3] pontos sobre os segmentos [tex3]BH[/tex3], [tex3]HF[/tex3], respectivamente, tais que [tex3]BM = CN[/tex3].

Determine o valor da expressão [tex3]\dfrac{HM+HN}{HO}[/tex3].

Obs.: não consegui pensar em nenhum jeito útil de lidar com o segmento [tex3]HO[/tex3]. Tentei algumas semelhanças e até joguei no Geogebra, mas mesmo assim ainda não pensei em nenhuma saída. Talvez supor estrategicamente a posição do ponto [tex3]M[/tex3]?

[geobson]

EsleyPires,informação que podem lhe auxiliar na resolução:

A demonstração da fórmula do cálculo dessa distância é praticamente a mesma da demonstração da distância do baricentro ao circuncentro , bastado depois usar a propriedade da rete de Euler que diz que a distância entre ortocentro ao circuncentro vale o dobro da distância do baricentro ao circuncentro: HO=2GO

[dantasWT]

(corrigindo tinha cometido um pequeno erro de conta )
OH²=9R²-(a²+b²+c²) , a demonstração é basicamente por vetores se quiser ver tem no canal do hora do bizu