Pré-Vestibular ⇒ (AREF- Noções de matemática)- Relações de equivalência Tópico resolvido

[K1llua]

Seja [tex3]\Re [/tex3] uma relação sobre [tex3]\mathbb{N}[/tex3] definida por:

[tex3]\Re =\left\{ \right.[/tex3][tex3]\left ( x,y \right )\in \mathbb{N^{2}}|x-y[/tex3] é divisível por [tex3]3\left. \right \}[/tex3]

[tex3]\Re [/tex3] é uma relação de equivalência?

Resposta

---

Gabarito: sim

[rcompany]

[tex3]
\bullet \text{ Simétrica:}\\
\forall x,y\in\mathbb{N},\,x\Re y\Leftrightarrow 3\mid x-y\Leftrightarrow \exists k\in\mathbb{Z}/x-y=3k\Leftrightarrow \exists k'=-k/y-y=3k'\Leftrightarrow3\mid y-x\Leftrightarrow y\Re x\\
\bullet\text{ Reflexiva:}\\
(3\mid0\text{ e }\forall x\in\mathbb{N},x-x=0)\Leftrightarrow \forall x \in\mathbb{N},3\mid x-x\Leftrightarrow \forall x \in\mathbb{N},x\Re x\\

\bullet\text{ Transitiva:}\\
\,\begin{array}{rl}\forall x,y,z\in\mathbb{N},\left\{\begin{array}{l}
x\Re y\\
y\Re z
\end{array}\right.
&\implies
\left\{\begin{array}{l}
3\mid x-y\\
3\mid y-z
\end{array}\right.\\

&\implies
\left\{\begin{array}{l}
\exists k\in\mathbb{Z}/x-y=3k\\
\exists k'\in\mathbb{Z}/y-z=3k'
\end{array}\right.\\
&\implies
\exists k,k'\in\mathbb{Z}/x-z=3(k-k')\\
&\implies \exists k''\in\mathbb{Z}/x-z=3k''\\
&\implies 3\mid x-z\\
&\implies x\Re z
\end{array}
[/tex3]

[K1llua]

[tex3]
\bullet \text{ Simétrica:}\\
\forall x,y\in\mathbb{N},\,x\Re y\Leftrightarrow 3\mid x-y\Leftrightarrow \exists k\in\mathbb{Z}/x-y=3k\Leftrightarrow \exists k'=-k/y-y=3k'\Leftrightarrow3\mid y-x\Leftrightarrow y\Re x\\
\bullet\text{ Reflexiva:}\\
(3\mid0\text{ e }\forall x\in\mathbb{N},x-x=0)\Leftrightarrow \forall x \in\mathbb{N},3\mid x-x\Leftrightarrow \forall x \in\mathbb{N},x\Re x\\

\bullet\text{ Transitiva:}\\
\,\begin{array}{rl}\forall x,y,z\in\mathbb{N},\left\{\begin{array}{l}
x\Re y\\
y\Re z
\end{array}\right.
&\implies
\left\{\begin{array}{l}
3\mid x-y\\
3\mid y-z
\end{array}\right.\\

&\implies
\left\{\begin{array}{l}
\exists k\in\mathbb{Z}/x-y=3k\\
\exists k'\in\mathbb{Z}/y-z=3k'
\end{array}\right.\\
&\implies
\exists k,k'\in\mathbb{Z}/x-z=3(k-k')\\
&\implies \exists k''\in\mathbb{Z}/x-z=3k''\\
&\implies 3\mid x-z\\
&\implies x\Re z
\end{array}
[/tex3]

Obrigada pela resolução!