Pré-Vestibular ⇒ (AREF- Noções de matemática)- Inequações Irracionais Tópico resolvido

[K1llua]

Resolva a inequação:

[tex3]\sqrt{36-x^{2}}[/tex3][tex3] \left ( x^2-4x-21 \right )\leq 0[/tex3]


Gabarito:

Resposta

---

[tex3]\left [ -3,6 \right ][/tex3]
Obs: Vi que em calculadoras o resultado deu: [tex3]\left [ -3,6 \right ][/tex3][tex3]\cup \left\{ -6\right\}[/tex3]

Alguém poderia me ajudar, por favor.

[petrasMOD]

K1llua,


\[
36 - x^2 \geq 0
\]

\[
x^2 \leq 36
\]

\[
-6 \leq x \leq 6
\]


[tex3]\sqrt{36 - x^2} = 0[/tex3] quando [tex3]x^2 = 36[/tex3] ou seja, [tex3]x = \pm 6[/tex3].

[tex3]x^2 - 4x - 21 = 0[/tex3].
Resolvendo a equação:

\[
x = \frac{14}{2} = 7 \quad \text{ou} \quad x = \frac{-6}{2} = -3
\]

Como x = 7 está fora do domínio [-6,6], descartamos essa raiz. A única raiz válida é x = -3.

Temos os pontos críticos x = -6, -3, 6. Agora, analisamos os sinais nos intervalos do domínio:

Intervalo (-6, -3)
[tex3]\sqrt{36 - x^2}[/tex3] é positivo.
x^2 - 4x - 21 é positivo.
- Produto: (+) x (+) = (+), então não faz parte da solução.

Intervalo (-3,6)
[tex3]\sqrt{36 - x^2}[/tex3] é positivo.
x^2 - 4x - 21 é negativo.
(+) x (-) = (-), então faz parte da solução.

Em x = -6:
[tex3]\sqrt{36 - (-6)^2} = \sqrt{0} = 0[/tex3], então o produto é 0, o que satisfaz a inequação.
Incluímos x = -6 na solução.

Em x = -3:
x^2 - 4x - 21 = 0, o que também zera o produto.
Incluímos x = -3 na solução.

Em x = 6:
[tex3]\sqrt{36 - 6^2} = \sqrt{0} = 0[/tex3], então o produto também é zero.
Incluímos x = 6 na solução.
Portanto
A inequação se verifica para \[[-3, 6] \cup \{-6\}
\]

[K1llua]

K1llua,


\[
36 - x^2 \geq 0
\]

\[
x^2 \leq 36
\]

\[
-6 \leq x \leq 6
\]


[tex3]\sqrt{36 - x^2} = 0[/tex3] quando [tex3]x^2 = 36[/tex3] ou seja, [tex3]x = \pm 6[/tex3].

[tex3]x^2 - 4x - 21 = 0[/tex3].
Resolvendo a equação:

\[
x = \frac{14}{2} = 7 \quad \text{ou} \quad x = \frac{-6}{2} = -3
\]

Como x = 7 está fora do domínio [-6,6], descartamos essa raiz. A única raiz válida é x = -3.

Temos os pontos críticos x = -6, -3, 6. Agora, analisamos os sinais nos intervalos do domínio:

Intervalo (-6, -3)
[tex3]\sqrt{36 - x^2}[/tex3] é positivo.
x^2 - 4x - 21 é positivo.
- Produto: (+) x (+) = (+), então não faz parte da solução.

Intervalo (-3,6)
[tex3]\sqrt{36 - x^2}[/tex3] é positivo.
x^2 - 4x - 21 é negativo.
(+) x (-) = (-), então faz parte da solução.

Em x = -6:
[tex3]\sqrt{36 - (-6)^2} = \sqrt{0} = 0[/tex3], então o produto é 0, o que satisfaz a inequação.
Incluímos x = -6 na solução.

Em x = -3:
x^2 - 4x - 21 = 0, o que também zera o produto.
Incluímos x = -3 na solução.

Em x = 6:
[tex3]\sqrt{36 - 6^2} = \sqrt{0} = 0[/tex3], então o produto também é zero.
Incluímos x = 6 na solução.
Portanto
A inequação se verifica para \[[-3, 6] \cup \{-6\}
\]

Muito obrigada, você tirou minha dúvida!