IME / ITA ⇒ (IME/1997) Resolva o sistema abaixo, sabendo que:

[luiseduardo]

(IME/1997) Resolva o sistema abaixo, sabendo que [tex3]a?1[/tex3] , [tex3]a>0[/tex3]

[tex3]\{x^y=y^x\\y=a\cdot x[/tex3]

[jacobi]

Se [tex3]y = ax[/tex3], então vou substituir na primeira equação.
[tex3]x^{(ax)} = (ax)^x[/tex3], certo?
Como no segundo membro temos [tex3]x^x[/tex3], então vou alterar os expoentes de lugar no primeiro membro.
[tex3](x^x)^a = a^x.x^x[/tex3], certo?
[tex3](x^x)^{(a - 1)} = a^x[/tex3], certo?
Como no segundo membro temos [tex3]a^x[/tex3], então vou mudar os expoentes de lugar novamente no primeiro membro.
[tex3][x^{(a - 1)}]^x = a^x[/tex3], certo?
[tex3]x^{(a - 1)} = a[/tex3], certo?
[tex3]x = a^{\frac{1}{a-1}}[/tex3]

[tex3]y = a.a^{\frac{1}{a-1}}[/tex3]
[tex3]y = a^{\frac{a}{a-1}}[/tex3]

Olha, esse foi difícil prá caramba.

[luiseduardo]

Se [tex3]y = ax[/tex3], então vou substituir na primeira equação.
[tex3]x^{(ax)} = (ax)^x[/tex3], certo?
Como no segundo membro temos [tex3]x^x[/tex3], então vou alterar os expoentes de lugar no primeiro membro.
[tex3](x^x)^a = a^x.x^x[/tex3], certo?
[tex3](x^x)^{(a - 1)} = a^x[/tex3], certo?
Como no segundo membro temos [tex3]a^x[/tex3], então vou mudar os expoentes de lugar novamente no primeiro membro.
[tex3][x^{(a - 1)}]^x = a^x[/tex3], certo?
[tex3]x^{(a - 1)} = a[/tex3], certo?
[tex3]x = a^{\frac{1}{a-1}}[/tex3]

[tex3]y = a.a^{\frac{1}{a-1}}[/tex3]
[tex3]y = a^{\frac{a}{a-1}}[/tex3]

Olha, esse foi difícil prá caramba.

Eu não consegui entender essa linha :

[tex3](x^x)^{(a - 1)} = a^x[/tex3] ... de onde vem o a-1 não consegui compreender poderia me explicar ... ?

Olha, esse foi difícil prá caramba.

, isso foi uma ironia ?
eu achei difícil, mas vc achou também ?

[jacobi]

Olha, esse foi difícil prá caramba. Você achou que foi ironia? Mostra esse exercício prá 10 professores e veja quantos conseguem fazer.

[tex3](x^x)^{(a - 1)} = a^x[/tex3] ... de onde vem o a-1 não consegui compreender poderia me explicar ... ?

[tex3]\frac{k^a}{k} = k^(a - 1)[/tex3]

[fabit]

Só acelerando:
[tex3]x^{(ax)}=(ax)^x[/tex3]
[tex3](x^a)^x=(ax)^x[/tex3]
[tex3]x^a=ax[/tex3]
Divide por x: [tex3]x^{(a-1)}=a[/tex3]
Eleva ao inverso de a-1: [tex3]x=a^{\(\frac{1}{a-1}\)}[/tex3]
e [tex3]y=ax=a.a^{\(\frac{1}{a-1}\)}=a^{\(\frac{a}{a-1}\)}[/tex3]

[luiseduardo]

Caramba, valeu pessoal, to até emocionado de conseguirem fazer esse exercício e eu entender como fazer. Valeu mesmo pessoal. Abraço