Pré-Vestibular ⇒ (AREF- Noções de matemática)- Função Quadrática Tópico resolvido

[K1llua]

a) Desenhe o gráfico da função definida por:

[tex3]f\left ( x \right )=\left | x^2-1\right |+x[/tex3]

b) Deduza o número de soluções da equação [tex3]\left | x^2-1\right |+x+k=0[/tex3], segundo os valores de [tex3]k[/tex3].


Gabarito:

Resposta

---

a)

Captura de tela 2025-03-15 122524.png (15.75 KiB) Exibido 359 vezes

b) [tex3]k< \frac{-5}{4}[/tex3]: 2 soluções; [tex3]k= \frac{-5}{4}[/tex3]: 3 soluções; [tex3] \frac{-5}{4}< k< -1[/tex3]: 4 soluções
[tex3]k=-1[/tex3]: 3 soluções; [tex3]-1< k< 1[/tex3]: 2 soluções; [tex3]k=1[/tex3]: 1 solução.
[tex3]k> 1[/tex3]: nenhuma solução

Eu consegui fazer o esboço do gráfico no item a, mas não entendi o item b. Alguém poderia me ajudar? Por favor.

Obs; não estou conseguindo carregar o anexo com a imagem do gráfico no item a, mas se puderem responder o item b, por favor.

[rcompany]

[tex3]

\left\{\begin{array}{ll}
f(x)=-x^2+1+x+k&\text{ para }x\in [-1;+1]\\
f(x)=x^2-1+x+k &\text{ para } x\leqslant -1 \text{ ou }x\geqslant 1 \\
\end{array}\right.
\\
\bullet\text{ Se }|x|\leqslant 1\\
\Delta=1+4(k+1)=4k+5\\
\quad-\text{Se }k<-\frac{5}{4}\implies \Delta<0\implies f\text{ sem raízes em }[-1;1]\\
\quad-\text{Se }k=-\frac{5}{4}\implies \Delta=0\implies f\text{ tem uma raíz em }\mathbb{R}\\
\quad\quad (r_o=\dfrac{-1}{-2}=\dfrac{1}{2}\in [-1;1])\implies f\text{ tem uma raíz em }[-1;1]\\
\quad-\text{Se }k>-\dfrac{5}{4}\implies \Delta>0\implies f\text{ tem duas raízes em }\mathbb{R}\\
\quad\quad r_o=\dfrac{-1+\sqrt{4k+5}}{-2}\\
\quad\quad\quad r_0<1\implies \sqrt{4k+5}>-1\quad\text{sempre verdadeiro}\\
\quad\quad\quad r_0>-1\implies \sqrt{4k+5}<3\implies 4k+5<9\implies k<1\\
\quad\quad\quad\fbox{$k>-\dfrac{5}{4}\implies r_0$ raíz de $f$ em $[-1;1]$ só e somente se $k<1$}\\
\quad\quad r_1= \dfrac{-1-\sqrt{4k+5}}{-2}\\
\quad\quad\quad r_1<1\implies -\sqrt{4k+5}>-1\implies \sqrt{4k+5}<1\implies k<-1\\
\quad\quad\quad r_1>-1\implies -\sqrt{4k+5}<3\quad\text{sempre verdadeiro}\\
\quad\quad\quad\fbox{$k>-\dfrac{5}{4}\implies r_1$ raíz de $f$ em $[-1;1]$ só e somente se $k<-1$ }\\
\\
\\\bullet\text{ Se }|x|\geqslant 1\\
\Delta=1-4(k-1)=-4k+5\\
\quad-\text{Se }k>\frac{5}{4}\implies \Delta<0\implies f\text{ sem raízes em }\mathbb{R}\setminus[-1;1]\\
\quad-\text{Se }k=\frac{5}{4}\implies \Delta=0\implies f\text{ tem uma raíz em }\mathbb{R}\\
\quad\quad (r_2=-\dfrac{1}{2}\notin \mathbb{R}\setminus[-1;1])\implies f\text{ não tem raíz em }\mathbb{R}\setminus[-1;1]\\
\quad-\text{Se }k<\dfrac{5}{4}\implies \Delta>0\implies f\text{ tem duas raízes em }\mathbb{R}\\
\quad\quad r_2=\dfrac{-1+\sqrt{-4k+5}}{2}\\
\quad\quad\quad r_2>1\implies \sqrt{-4k+5}<-2\implies k<-1\\
\quad\quad\quad r_2<-1\implies \sqrt{-4k+5}<-1\quad\text{impossível}\\
\quad\quad\quad\fbox{$k<\dfrac{5}{4}\implies r_2$ raíz de $f$ em $\mathbb{R}\setminus[-1;1]$ só e somente se $k<-1$}\\
\quad\quad r_3= \dfrac{-1-\sqrt{-4k+5}}{2}\\
\quad\quad\quad r_3>1\implies -\sqrt{-4k+5}>3\quad\text{impossível}\\
\quad\quad\quad r_3<-1\implies \sqrt{4k+5}>1\implies k<1\\
\quad\quad\quad\fbox{$k<\dfrac{5}{4}\implies r_3$ raíz de $f$ em $\mathbb{R}\setminus[-1;1]$ só e somente se $k<1$ }\\
[/tex3]

Resumindo tudo isso numa tabela:

[tex3]
\begin{array}{lccccccccc}
k&-\infty&&-\dfrac{5}{4}&&-1&&1&&\dfrac{5}{4}&&+\infty\\
\text{número de raízes}&&2&3&\hline{4}&\,\,\,\,\,3&2&1&0&0&0&0
\end{array}
[/tex3]

[K1llua]

[tex3]

\left\{\begin{array}{ll}
f(x)=-x^2+1+x+k&\text{ para }x\in [-1;+1]\\
f(x)=x^2-1+x+k &\text{ para } x\leqslant -1 \text{ ou }x\geqslant 1 \\
\end{array}\right.
\\
\bullet\text{ Se }|x|\leqslant 1\\
\Delta=1+4(k+1)=4k+5\\
\quad-\text{Se }k<-\frac{5}{4}\implies \Delta<0\implies f\text{ sem raízes em }[-1;1]\\
\quad-\text{Se }k=-\frac{5}{4}\implies \Delta=0\implies f\text{ tem uma raíz em }\mathbb{R}\\
\quad\quad (r_o=\dfrac{-1}{-2}=\dfrac{1}{2}\in [-1;1])\implies f\text{ tem uma raíz em }[-1;1]\\
\quad-\text{Se }k>-\dfrac{5}{4}\implies \Delta>0\implies f\text{ tem duas raízes em }\mathbb{R}\\
\quad\quad r_o=\dfrac{-1+\sqrt{4k+5}}{-2}\\
\quad\quad\quad r_0<1\implies \sqrt{4k+5}>-1\quad\text{sempre verdadeiro}\\
\quad\quad\quad r_0>-1\implies \sqrt{4k+5}<3\implies 4k+5<9\implies k<1\\
\quad\quad\quad\fbox{$k>-\dfrac{5}{4}\implies r_0$ raíz de $f$ em $[-1;1]$ só e somente se $k<1$}\\
\quad\quad r_1= \dfrac{-1-\sqrt{4k+5}}{-2}\\
\quad\quad\quad r_1<1\implies -\sqrt{4k+5}>-1\implies \sqrt{4k+5}<1\implies k<-1\\
\quad\quad\quad r_1>-1\implies -\sqrt{4k+5}<3\quad\text{sempre verdadeiro}\\
\quad\quad\quad\fbox{$k>-\dfrac{5}{4}\implies r_1$ raíz de $f$ em $[-1;1]$ só e somente se $k<-1$ }\\
\\
\\\bullet\text{ Se }|x|\geqslant 1\\
\Delta=1-4(k-1)=-4k+5\\
\quad-\text{Se }k>\frac{5}{4}\implies \Delta<0\implies f\text{ sem raízes em }\mathbb{R}\setminus[-1;1]\\
\quad-\text{Se }k=\frac{5}{4}\implies \Delta=0\implies f\text{ tem uma raíz em }\mathbb{R}\\
\quad\quad (r_2=-\dfrac{1}{2}\notin \mathbb{R}\setminus[-1;1])\implies f\text{ não tem raíz em }\mathbb{R}\setminus[-1;1]\\
\quad-\text{Se }k<\dfrac{5}{4}\implies \Delta>0\implies f\text{ tem duas raízes em }\mathbb{R}\\
\quad\quad r_2=\dfrac{-1+\sqrt{-4k+5}}{2}\\
\quad\quad\quad r_2>1\implies \sqrt{-4k+5}<-2\implies k<-1\\
\quad\quad\quad r_2<-1\implies \sqrt{-4k+5}<-1\quad\text{impossível}\\
\quad\quad\quad\fbox{$k<\dfrac{5}{4}\implies r_2$ raíz de $f$ em $\mathbb{R}\setminus[-1;1]$ só e somente se $k<-1$}\\
\quad\quad r_3= \dfrac{-1-\sqrt{-4k+5}}{2}\\
\quad\quad\quad r_3>1\implies -\sqrt{-4k+5}>3\quad\text{impossível}\\
\quad\quad\quad r_3<-1\implies \sqrt{4k+5}>1\implies k<1\\
\quad\quad\quad\fbox{$k<\dfrac{5}{4}\implies r_3$ raíz de $f$ em $\mathbb{R}\setminus[-1;1]$ só e somente se $k<1$ }\\
[/tex3]

Resumindo tudo isso numa tabela:

[tex3]
\begin{array}{lccccccccc}
k&-\infty&&-\dfrac{5}{4}&&-1&&1&&\dfrac{5}{4}&&+\infty\\
\text{número de raízes}&&2&3&\hline{4}&\,\,\,\,\,3&2&1&0&0&0&0
\end{array}
[/tex3]

Muito obrigada!!