(Estônia - Geometria Plana) - Estude! Com Prof. Caju

Olimpíadas ⇒ (Estônia - Geometria Plana) Tópico resolvido

2 mensagens • Página 1 de 1

cicero444 Offline: Mensagens: 994; Registrado em: 26 Fev 2012, 19:45; Agradeceu: 1 vez; Agradeceram: 6 vezes

Fev 2023 27 12:12

(Estônia - Geometria Plana)

Mensagempor cicero444 » 27 Fev 2023, 12:12

Mensagem por cicero444 » 27 Fev 2023, 12:12

Na figurn abaixo os 10 pentágonos são regulares. O círculo interno é tangente a exatamente um lado de cada pentágono e o circulo externo passa exatamente pelos vértices opostos a esses lados. Determine a ãrea do círculo maior sabendo que a área do círculo menor é 1.

: pentagonos.png (14.61 KiB) Exibido 954 vezes

cicero444

geobson Offline: Mensagens: 4899; Registrado em: 02 Jun 2013, 20:01; Agradeceu: 785 vezes; Agradeceram: 366 vezes

Mar 2025 20 22:50

Re: (Estônia - Geometria Plana)

Mensagempor geobson » 20 Mar 2025, 22:50

Mensagem por geobson » 20 Mar 2025, 22:50

A resposta é 4 : segundo o escrito abaixo em inglês.

Anexos

geobson

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Estônia - Geometria

Últ. msg por Tassandro « 31 Mai 2020, 07:53
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 1
por theblackmamba » 24 Dez 2011, 15:47 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

theblackmamba

Mostre que o segmento que une o ortocentro e o baricentro de um triângulo acutângulo [tex3]ABC[/tex3] é paralelo ao lado [tex3]AB[/tex3] se, e somente se, [tex3]tg \angle A\,\cdot\,tg \angle B = 3[/tex3].

Últ. msg

Tassandro

theblackmamba,
Sejam E e F as projeções do circuncentro (C) e do ortocentro (O) em [tex3]\overline{AB},[/tex3] respectivamente. Note que [tex3]CE=R\cos\hat C[/tex3] e [tex3]OF=2R\cos\hat A\cos\hat B,[/tex3] sendo R o circunraio. Mas como...
Tassandro1theblackmamba1: 1 Resp.; 767 Exibições; Últ. msg por Tassandro
31 Mai 2020, 07:53

(Estônia - 1999) Função Racional

Últ. msg por marco_sx « 01 Jun 2007, 00:08
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 1
por splinter.br » 30 Mai 2007, 23:26 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

splinter.br

Determine o valor da expressão:

[tex3]f\left(\frac{1}{2000}\right) + f\left(\frac{2}{2000}\right) +\ldots + f\left(\frac{1999}{2000}\right) + f\left(\frac{2000}{2000}\right) + f\left(\frac{2000}{1999}\right) +\ldots + f\left(\frac{2000}{1}\right)[/tex3]...

Últ. msg

marco_sx

Oi splinter.br

[tex3]f\left(\frac{a}{b}\right)+f\left(\frac{b}{a}\right)=\frac{\left(\large\frac{a}{b}\right)^2}{1+\left(\large\frac{a}{b}\right)^2}+\frac{\left(\large\frac{b}{a}\right)^2}{1+\left(\large\frac{b}{a}\right)^2}=\frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}=1[/tex3]...
marco_sx1splinter.br1: 1 Resp.; 2182 Exibições; Últ. msg por marco_sx
01 Jun 2007, 00:08

(Estônia - 2002) Números Mágicos Últ. msg por rean « 24 Out 2007, 11:53 Enviado em Olimpíadas por rean » 24 Out 2007, 11:53 » em Olimpíadas rean Um número natural de [tex3]10[/tex3] algarismos distintos é dito mágico se ele for múltiplo de [tex3]99999.[/tex3] Quantos números mágicos não começados por zero existem? rean1: 0 Resp.; 1226 Exibições; Últ. msg por rean
24 Out 2007, 11:53

Estônia 2005

Últ. msg por lucas36 « 19 Fev 2012, 15:25
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 1
por Cássio » 04 Fev 2012, 21:41 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

Cássio

Sejam [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] inteiros positivos primos entre si, tais que [tex3]\dfrac{a+b}{a-b}[/tex3] também seja um inteiro postivo. Prove que pelo menos um dos números [tex3]ab+1[/tex3] e [tex3]4ab+1[/tex3] é um quadrado perfeito.

Últ. msg

lucas36

Veja que [tex3]a-b|a+b[/tex3] e como [tex3]a-b|a-b[/tex3], temos [tex3]a-b|(a+b)-(a-b)=2b[/tex3] e logo [tex3]2b=k(a-b)\Leftrightarrow b(k+2)=ak[/tex3] e como [tex3]a, b[/tex3] são primos entre si, segue que [tex3]a|k+2[/tex3] e [tex3]b|k[/tex3],...
Cássio1lucas361: 1 Resp.; 684 Exibições; Últ. msg por lucas36
19 Fev 2012, 15:25

(Estônia) Desigualdades

Últ. msg por Vinisth « 04 Dez 2013, 20:47
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 5
por theblackmamba » 10 Jun 2012, 19:22 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

theblackmamba

Seja [tex3]a[/tex3], [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] números reais positivos tal que [tex3]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=a+b+c[/tex3]. Prove que:
[tex3]\frac{1}{(2a+b+c)^2}+\frac{1}{(2b+c+a)^2}+\frac{1}{(2c+a+b)^2} \leq \frac{3}{16}[/tex3]

Últ. msg

Vinisth

Olá theblackmamba,

**Nota :
[tex3](x-y)^2\geq 0[/tex3],
[tex3](x+y)^2\geq 4xy[/tex3]

Tomando agora :
[tex3](a+b+2c)^2=(a+c+b+c)^2 \geq 4(a+c)(b+c)[/tex3], então :
[tex3]\sum_{cic}\frac{16}{(a+b+2c)^2}\leq \sum_{cic}\frac{4}{(a+c)(b+c)} \leq \frac{8(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(a+c)}[/tex3]...
Vinisth3theblackmamba1Auto Excluído (ID:8010)2: 5 Resp.; 1474 Exibições; Últ. msg por Vinisth
04 Dez 2013, 20:47

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