Quadriláteros - 2003 - Vol 4 ⇒ Problema 01 - Quadriláteros -Vol. 4 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Começando mais uma jornada do solucionário. Serão 80 problemas,
Conto com a ajuda de todos os que gostam do assunto.


Se ABCD e PQRD são quadrados, calcular MN.
Sendo "E" e "F" centros dos quadrados.
AB = 8[tex3]\sqrt{2}[/tex3] e QR = 6[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

Resposta

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Gabarito: E) 5

[Usuário Excluído 30973]

Fiz por GA. Não é muito elegante, mas foi o jeito que pensei

[petrasMOD]

Fiz por GA. Não é muito elegante, mas foi o jeito que pensei

SmartSelect_20250323_162644_Samsung Notes.jpg
SmartSelect_20250323_162654_Samsung Notes.jpg

É uma solução mas vamos aguardar uma por geometria já que o livro não utiliza GA nem trigonometria avançada para resoluções

[geobson]

@petrasMOD o caminho é o mesmo.

[petrasMOD]

@petras o caminho é o mesmo.

Já tinha visto este problema mas ainda não "enxerguei" a saida.

[petrasMOD]

@geobson

up...................................................................

[dantasWT]

Opa, nova jornada vou tentar dar uma ajudada amanhã que hj é o descanso

[petrasMOD]

A ideia é demonstrar que o [tex3]\triangle ENF[/tex3] é retângulo

[petrasMOD]

△ACN é retángulo, já que △ADP≡△CDR(triÂngulo retângulo com catetos iguais:PD = DR e CD=AD) e portanto [tex3]\angle CRD= \angle APD= \angle NPC⟹ CNP=RDC[/tex3]. e por ser E ponto medio de AC temos que AE=EC=EN. Chamando de S a intersecão de AE e RF tenemos:

Como △FDE tambem é reto e as diagonais são proporcionais aos lados este deve ser semelhante aos anteriores, e como [tex3]\angle SNP= \angle SCP=\angle DAE[/tex3] e △AEN é isósceles, temos que [tex3]\angle SNE= \angle SFE[/tex3] e assim o quadrilátero ESNF é inscritivel, de onde [tex3]\angle ENF= \angle ESF=90^o\\
\triangle EFD: AE=ED = \frac{D\sqrt2}{2}=\frac{8\sqrt2.\sqrt2}{2} =8\\
Analogamente~DF = 6 \therefore EF^2 = 6^2+8^2 \implies EF = 10\\
\triangle EMF:MN = \frac{EF}{2} = \frac{10}{2} =\boxed{ 5}[/tex3]
(Solução:Pie)