Quadriláteros - 2003 - Vol 4 ⇒ Problema 05 - Quadriláteros -Vol. 4 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Em um trapézio ABCD, BC e AD medem 6 e 16 m e CD = 10m.
Marca-se "M" ponto médio de AB, tal que [tex3]\angle ADC = 2\angle BCM[/tex3].
Calcular [tex3]\angle ADC[/tex3]

Resposta

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Gabarito: A) 53^o - Gabarito errado do livro B) 60^o

[dantasWT]

O gabarito está correto? Estou achando 2θ=53°do triângulo 3,4,5

[dantasWT]

Se encontrar alguma incoerência ficarei agradecido

[petrasMOD]

@dantasWT

Foi um erro do livro..o ângulo é realmente de 53^o.

Já fiz a correção do gabarito

[rcompany]

[tex3]
(MN)\text{ a reta paralela a }(BC)\text{ cruzando }(CD)\text{ em }N\\
N\text{ ponto médio de }[C,D]\implies CD=5\text{ e }MN=11\\
C'\text{ a projeção ortogonal de }C\text{ em }(MN)\\
N'\text{ o ponto de }[M,N]\text{ tal que }C'N=C'N'\text{ e }N\neq N'\\
(CC')\text{ mediana de }\angle N'CN\text{ e }(CC')\text{ mediatriz de }[N',N]\implies \triangle CNN'\text{ isósceles}\implies \left\{\begin{array}{l}CN=CN'=5\\\angle N'CC'=\angle C'CN=\dfrac{\pi}{2}-2\theta\end{array}\right.\\
\angle MCN'=\angle BCC'-\angle BCM-\angle C'CN'=\dfrac{\pi}{2}-\theta-(\dfrac{\pi}{2}-2\theta)=\theta\\
\angle MCN'=\angle N'MC\implies\triangle MN'C\text{ isósceles} \implies MN'=CN'=5\implies N'N=6\implies C'N=3\\
\cos2\theta=\dfrac{C'N}{CN}=\dfrac{3}{5}\implies \angle ADC=2\theta=\arccos\dfrac{3}{5}\approx53°
[/tex3]