Ensino Médio ⇒ (MORGADO) Analise combinatória II

[Kaiope]

12. Considere n(n>2) pontos em um plano, entre os quais não há 3 pontos colineares.

a) Quantas são as retas que contem dois desses pontos?

b) Qual é o número máximo de pontos de interseção dessas retas?

Resposta

---

a) [tex3]C_{n}^{2}[/tex3] b) [tex3](n^4 - 6n^3 + 11n^2 +2n)/8 [/tex3]

[Tassandro]

Kaiope,
Para determinar uma reta, precisamos de apenas dois pontos. Logo, o número de retas que contém dois desses pontos será dado por [tex3]\binom{n}{2}[/tex3]
Agora, para achar o número de máximo de pontos de interseção dessas retas, vamos fazer uma substituição.
Seja o número de retas dado por [tex3]m=\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!\cdot2!}=\frac{n(n-1)}{2}[/tex3]
Agora, vamos achar uma recorrência no número dessas retas.
Se temos 1 reta, o número máximo de pontos de interseção é 0. Se temos 2 retas, o número máximo de interseção é 1. Se temos 3 retas, o número máximo de pontos de interseção é 3, e se tivermos 4 retas, será 6. Veja o padrão:
[tex3]f(1)=0,f(2)=1,f(3)=3,f(4)=6[/tex3]
Note que [tex3]6-3=3,3-1=2,1-0=1[/tex3] e [tex3]3-2=1[/tex3]. Caso, não tenha conseguido visualizar, recomendo fazer para mais retas, de todo modo, formar-se-á uma progressão aritmética de ordem 2 em m, logo, o número máximo de pontos de interseção será uma função do segundo grau em [tex3]m[/tex3].
Usando esse fato, é possível determinar o [tex3]f(m),[/tex3] que será [tex3]f(m)=\frac{m^2-m}{2}[/tex3]
Mas, nós queremos [tex3]f(n),[/tex3] portanto, basta substituir que [tex3]m=\frac{n^2-n}{2}[/tex3]
Fazendo a substituição, encontramos que
[tex3]f(n)=\frac{n^4 - 6n^3 + 11n^2 +2n}{8}[/tex3]
Espero que tenha entendido!

[Usuário Excluído 30973]

Dei uma travada nessa questão. o raciocínio do Tassandro me parece bastante coerente, mas a resposta, ao fazer as substituições eu não chego no gab dado. encontrei [tex3]f(n)=\frac{n^4-2n^3-n^2+2n}{8}[/tex3]. testei os dois resultados para n=5, o que da 10 retas, e o resultado que eu encontrei da 45 pontos de interseção para a expressão que eu coloquei acima, enquanto a do gab da 20. Dei uma bisoiada no chatgpt e ele diz que é 45, mas tenho minhas dúvidas, não acho que o gab esteja errado, porque em todo canto que eu procuro, o gab é o mesmo [tex3]\displaystyle{f(n)=\frac{n^4 - 6n^3 + 11n^2 +2n}{8}}[/tex3]
alguém pode confirmar, por favor?

[petrasMOD]

@gibbs

Segue outra solução para ver se ajuda


Cada interseção é gerada pelo encontro entre duas retas. Se chamarmos o resultado do ítem a de r, então teríamos o número de interseções dado por C(r,2).

Todavia, nessa contagem foram incluídos várias vezes os próprios pontos dados, pois de cada ponto partem (n-1) retas que se intersectam, inclusive, nele próprio. Portanto, do resultado acima precisamos descontar n.C[(n-1),2], que seriam as interseções que correspondem aos próprios pontos dados.

Ainda precisamos adicionar n à contagem, pois os pontos dados também representam interseções entre retas.

I = C(r,2) - n.C[(n-1),2] + n

onde r = C(n,2)

Fazendo as contas:

[tex3]r = C(n,2) = \binom{n}{2} = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}[/tex3]

[tex3]C(r,2) = \binom{r}{2} = \frac{r!}{2!(r-2)!} = \frac{r(r-1)}{2}[/tex3]

Substituindo r = [tex3] \frac{n(n-1)} {2} [/tex3]:

[tex3]C\left(\frac{n(n-1)}{2}, 2\right) = \frac{\frac{n(n-1)}{2} \left(\frac{n(n-1)}{2} - 1\right)}{2}[/tex3]
[tex3]= \frac{\frac{n(n-1)}{2} \left(\frac{n^2 - n - 2}{2}\right)}{2}[/tex3]
[tex3]= \frac{n(n-1)(n^2 - n - 2)}{8}[/tex3]

Calcular C(n-1,2)
[tex3]C(n-1,2) = \binom{n-1}{2} = \frac{(n-1)!}{2!(n-1-2)!} = \frac{(n-1)!}{2!(n-3)!} = \frac{(n-1)(n-2)}{2}[/tex3]

Substituindo os valores calculados:
[tex3]= \frac{n(n-1)(n^2 - n - 2)}{8} - n \cdot \frac{(n-1)(n-2)}{2} + n[/tex3]

[tex3]= \frac{n(n-1)(n^2 - n - 2) - 4n(n-1)(n-2) + 8n}{8}[/tex3]

Fatorando n(n-1) dos dois primeiros termos no numerador:
[tex3]= \frac{n(n-1) [(n^2 - n - 2) - 4(n-2)] + 8n}{8}[/tex3]
[tex3]= \frac{n(n-1) [n^2 - n - 2 - 4n + 8] + 8n}{8}[/tex3]
[tex3]= \frac{n(n-1) [n^2 - 5n + 6] + 8n}{8}[/tex3]

Fatorando o trinômio n² - 5n + 6.
[tex3]n^2 - 5n + 6 = (n-2)(n-3)[/tex3]
Substituindo de volta:
[tex3]= \frac{n(n-1)(n-2)(n-3) + 8n}{8}[/tex3]

Podemos fatorar n do numerador:
[tex3]= \frac{n [(n-1)(n-2)(n-3) + 8]}{8}[/tex3]

Expandindo (n-1)(n-2)(n-3):
[tex3](n-1)(n^2 - 5n + 6) = n^3 - 5n^2 + 6n - n^2 + 5n - 6 = n^3 - 6n^2 + 11n - 6[/tex3]

Substituindo de volta:
[tex3]= \frac{n [n^3 - 6n^2 + 11n - 6 + 8]}{8}[/tex3]
[tex3]= \frac{n (n^3 - 6n^2 + 11n + 2)}{8}[/tex3]
[tex3]= \frac{n^4 - 6n^3 + 11n^2 + 2n}{8}[/tex3]

[tex3] \boxed {\frac{n^4 - 6n^3 + 11n^2 + 2n}{8}}[/tex3]

(Solução:Claudir:adaptdada)