Ensino Médio ⇒ Progressão Infinita

[lindauro]

Seja S = 1 + 2x + 3x² ... o < x < 1

Qual o valor dessa soma?

Nao consigo resolver, so sei que o valor é 1/(1-x)^2, me ajudem ai galera

[jacobi]

Seja S = 1 + 2x + 3x² ... o < x < 1

[tex3]S = 1 + x + x + x^2 + x^2 + x^2 + x^3 + x^3 + x^3 + x^3 + ....[/tex3]

Vamos separar a sequênbcia assim:
[tex3]S_1 = 1 + x + x^2 + x^3 + .... = \frac{1}{1 - x}[/tex3]
[tex3]S_2 = x + x^2 + x^3 + .... = \frac{x}{1 - x}[/tex3]
[tex3]S_3 = x^2 + x^3 + .... = \frac{x^2}{1 - x}[/tex3]
[tex3]S_4 = x^3 + .... = \frac{x^3}{1 - x}[/tex3]
[tex3].....[/tex3]
Logo, a soma de todas as sequências é [tex3]S = \frac{1 + x + x^2 + x^3 + ...}{1 - x}[/tex3]
Ora, a soma do numerador é [tex3]\frac{1}{1 - x}.[/tex3]
Daí, [tex3]S = \frac{1}{(1 - x)^2}[/tex3]

[jeffson]

Outra maneira...
[tex3]S=1+2x+3x^{2}+4x^{3}.....[/tex3]
[tex3]Sx=x+2x^{2}+3x^{3}+4x^{4}[/tex3]

[tex3]S-Sx=1+x+x^{2}+x^{3}.......[/tex3]
[tex3]S*(1-x)=\frac{1}{(1-x)}[/tex3]
[tex3]S=\frac{1}{(1-x)^{2}}[/tex3]