Áreas de Regiões Poligonais e Circulares - 2003 - Vol. 10 ⇒ Problema 02 - Áreas -Vol. 10 Tópico resolvido

[petrasMOD]

O perímetro de um triângulo retângulo é 36m e a área da região triangular é 54m².
Calcular o tamanho do cateto maior.

Resposta

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Gabarito: A) 12m

[petrasMOD]

Sejam a e b os comprimentos dos catetos do triângulo retângulo, e c o comprimento da hipotenusa.
O perímetro do triângulo é dado como 36 m, então temos a equação:
a + b + c = 36 (Equação 1)

A área da região triangular é dada como 54 m².
[tex3]\frac{1}{2}ab = 54\\
ab = 108 (Equação 2)[/tex3]

a² + b² = c² (Equação 3)

Da Equação 1, podemos expressar c em termos de a e b:
c = 36 - a - b

Substituímos essa expressão para c na Equação 3:
[tex3]a^2 + b^2 = (36 - a - b)^2\\
a^2 + b^2 = 1296 + a^2 + b^2 - 72a - 72b + 2ab\\
\therefore 0 = 1296 - 72a - 72b + 2ab[/tex3]

Substituímos o valor de ab = 108 (da Equação 2):
[tex3]$0 = 1296 - 72a - 72b + 2(108)\\
0 = 1296 - 72a - 72b + 216\\
0 = 1512 - 72a - 72b\\
[/tex3]

[tex3] \therefore 72a + 72b = 1512\\
72(a + b) = 1512\\
a + b = \frac{1512}{72}\\
a + b = 21[/tex3]

1) a + b = 21
2) ab = 108

Isso nos dá duas possíveis soluções para a: a = 9 ou a = 12.

Se a = 9, então b = 21 - 9 = 12.
Se a = 12, então b = 21 - 12 = 9.

Os comprimentos dos catetos são 9 m e 12 m. O cateto maior mede 12 m.