Áreas de Regiões Poligonais e Circulares - 2003 - Vol. 10 ⇒ Problema 04 - Áreas -Vol. 10 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Se ABCD é um quadrado, calcular a área da região sombreada sendo AB = 4m.
(T ponto de tangência)

Resposta

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Gabarito: E) 5m²

[petrasMOD]

Por ser T ponto de tangencia: CT=CD=CB, portanto △DCT e △BCT são isósceles.

Sendo O o centro del semicirculo: OCD≡OCT≡MBC, de donde:

[tex3]\angle TCD= 2 \angle MBC⟹\angle BCT=90^o−2\angle MBC[/tex3]

como △BCT é isósceles: [tex3]\angle TBC=45^o+\angle MBC⟹\angle QBM=45^o[/tex3]

Portanto o quadrilátero QBCM é inscritível([tex3]\angle QBM = \angle QCM[/tex3]), de onde se deduz que △MQB é retángulo e isósceles.


[tex3]BM^2=4^2+2^2=20=BQ^2+QM^2⟹BQ=QM=\sqrt{10}\\
\therefore Area(△MQB)=\frac{\sqrt{10}⋅\sqrt{10} }{2}=\boxed{5 m^2}[/tex3]
(Solução:Pie)