Áreas de Regiões Poligonais e Circulares - 2003 - Vol. 10 ⇒ Problema 05 - Áreas -Vol. 10 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Calcular a área do triângulo escaleno ABC onde a circunferência inscrita
determina em AC o ponto de tangência P sendo AP . PC = 18 e r_a . r_c = 36
(sendo r_a e r_c ex-raios)

Resposta

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Gabarito: C) 18[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

[petrasMOD]

Seja a, b, c os comprimentos dos lados BC, AC, AB respectivamente.
Seja p o semiperímetro do triângulo, [tex3]p = \frac{a+b+c}{2}[/tex3].
O ponto de tangência P da circunferência inscrita com o lado AC divide o lado em segmentos AP e PC. Sabemos que AP = p-a e PC = p-c.
Dado que AP . PC = 18, temos (p-a)(p-c) = 18.

Os ex-raios r_a e r_c são dados pelas fórmulas:
[tex3]r_a = \frac{K}{p-a}\\
r_c = \frac{K}{p-c}[/tex3]
onde K é a área do triângulo.

Dado que r_a . r_c = 36, temos:
[tex3]\frac{K}{p-a} \cdot \frac{K}{p-c} = 36\\
\frac{K^2}{(p-a)(p-c)} = 36[/tex3]

Substituindo (p-a)(p-c) = 18 na equação acima:
[tex3]\frac{K^2}{18} = 36\\
K^2 = 36 \cdot 18\\
K^2 = 648 \implies K = \sqrt{648} = \boxed{18\sqrt2}
[/tex3]