Pré-Vestibular ⇒ (AREF- Noções de matemática)- Trigonometria Tópico resolvido

[K1llua]

Resolva a equação no conjunto universo [tex3]U=\left [ 0;2\pi \right ][/tex3]

d) [tex3]\sen \(2x+4\)=\frac{1}{3}[/tex3]

Gabarito:

Resposta

---

[tex3]S=\left\{ \pi -2+\frac{1}{2}arc \sen \frac{1}{3};\,2\pi -2+\frac{1}{2}\arcsen \frac{1}{3};\,\frac{3\pi }{2}-2-\frac{1}{2}\arcsen \frac{1}{3};\,\frac{5\pi }{2}-2-\frac{1}{2}\arcsen \frac{1}{3}\right\}[/tex3]

Olá, boa tarde, alguém poderia me ajudar com essa questão? Por favor.

[deBroglie]

Fala, meu amigo. Tudo certo?
Para facilitar a visualização, adotemos [tex3]2x+4[/tex3] como sendo igual a [tex3]y[/tex3]. Assim, teremos:
[tex3]\sen (y)=\frac{1}{3}[/tex3]
Logo, [tex3]y =\arcsen \(\frac{1}{3}\)+2k\pi [/tex3] ou [tex3]y=\pi - \arcsen \(\frac{1}{3}\) +2k\pi [/tex3], onde [tex3]k\in \mathbb{Z}[/tex3]

Substituindo os valores acima na equação, teremos:

Solução 1:
[tex3]2x+4=\arcsen \(\frac{1}{3}\)+2k\pi[/tex3]
[tex3]\therefore x=\frac{1}{2}\cdot \arcsen \(\frac{1}{3}\) -2 +k\pi [/tex3]
Agora devemos achar os valores de [tex3]k[/tex3] que satisfazem a equação no conjunto [tex3]U = [0;2\pi ][/tex3]
Tendo em mente que [tex3]\arcsen \(\frac{1}{3}\) [/tex3] é um valor menor que [tex3]\arcsen \(\frac{1}{2}\) = \frac{\pi }{6}\approx 0,5[/tex3], já podemos supor que [tex3]k\geq 1[/tex3]
[tex3]\to [/tex3]Para [tex3]k=1[/tex3], temos que: [tex3]x=\pi +\frac{1}{2}\cdot \arcsen \(\frac{1}{3}\) -2\approx 1,25[/tex3] (dentro do intervalo)
[tex3]\to [/tex3]Para [tex3] k=2[/tex3], temos que: [tex3]x=2\cdot \pi +\frac{1}{2}\cdot \arcsen \(\frac{1}{3}\) -2\approx 4,25[/tex3] (dentro do intervalo)
[tex3]\to [/tex3]Para [tex3] k=3[/tex3], temos que: [tex3]x=3\cdot \pi +\frac{1}{2}\cdot \arcsen \(\frac{1}{3}\) -2\approx 7,25[/tex3] (fora do intervalo)
Já podemos ver que para [tex3]k[/tex3] maiores que 3 o valor estará fora do intervalo.

Ou,
Solução 2:
[tex3]2x+4=\pi - \arcsen \(\frac{1}{3}\) +2k\pi[/tex3]
[tex3]\therefore x=\frac{\pi }{2} -\frac{1}{2}\cdot \arcsen \(\frac{1}{3}\)-2+k\pi [/tex3]
[tex3]\to [/tex3]Para [tex3]k=1[/tex3],temos que: [tex3]x=\frac{3\cdot \pi }{2} -\frac{1}{2}\cdot \arcsen \(\frac{1}{3}\)-2 \approx 2,25[/tex3] (dentro do intervalo)
[tex3]\to [/tex3]Para [tex3]k=2[/tex3],temos que: [tex3]x=\frac{5\cdot \pi }{2} -\frac{1}{2}\cdot \arcsen \(\frac{1}{3}\)-2 \approx 5,25[/tex3] (dentro do intervalo)
[tex3]\to [/tex3]Para [tex3]k=3[/tex3],temos que: [tex3]x=\frac{7\cdot \pi }{2} -\frac{1}{2}\cdot \arcsen \(\frac{1}{3}\)-2 \approx 8,25[/tex3] (fora do intervalo)
Já podemos ver que para [tex3]k[/tex3] maiores que 3 o valor estará fora do intervalo.

Logo, para satisfazer o conjunto, [tex3]k=1[/tex3] ou [tex3]k=2[/tex3], e ,portanto :
[tex3]S=\left\{\pi +\frac{1}{2}\cdot \arcsen \(\frac{1}{3}\) -2; 2\cdot \pi +\frac{1}{2}\cdot \arcsen \(\frac{1}{3}\) -2;\frac{3\cdot \pi }{2} -\frac{1}{2}\cdot \arcsen \(\frac{1}{3}\)-2;\frac{5\cdot \pi }{2} -\frac{1}{2}\cdot \arcsen \(\frac{1}{3}\)-2\right\}[/tex3]

Espero que tenha lhe ajudado, abraço!

[K1llua]

Fala, meu amigo. Tudo certo?
Para facilitar a visualização, adotemos [tex3]2x+4[/tex3] como sendo igual a [tex3]y[/tex3]. Assim, teremos:
[tex3]\sen (y)=\frac{1}{3}[/tex3]
Logo, [tex3]y =\arcsen \(\frac{1}{3}\)+2k\pi [/tex3] ou [tex3]y=\pi - \arcsen \(\frac{1}{3}\) +2k\pi [/tex3], onde [tex3]k\in \mathbb{Z}[/tex3]

Substituindo os valores acima na equação, teremos:

Solução 1:
[tex3]2x+4=\arcsen \(\frac{1}{3}\)+2k\pi[/tex3]
[tex3]\therefore x=\frac{1}{2}\cdot \arcsen \(\frac{1}{3}\) -2 +k\pi [/tex3]
Agora devemos achar os valores de [tex3]k[/tex3] que satisfazem a equação no conjunto [tex3]U = [0;2\pi ][/tex3]
Tendo em mente que [tex3]\arcsen \(\frac{1}{3}\) [/tex3] é um valor menor que [tex3]\arcsen \(\frac{1}{2}\) = \frac{\pi }{6}\approx 0,5[/tex3], já podemos supor que [tex3]k\geq 1[/tex3]
[tex3]\to [/tex3]Para [tex3]k=1[/tex3], temos que: [tex3]x=\pi +\frac{1}{2}\cdot \arcsen \(\frac{1}{3}\) -2\approx 1,25[/tex3] (dentro do intervalo)
[tex3]\to [/tex3]Para [tex3] k=2[/tex3], temos que: [tex3]x=2\cdot \pi +\frac{1}{2}\cdot \arcsen \(\frac{1}{3}\) -2\approx 4,25[/tex3] (dentro do intervalo)
[tex3]\to [/tex3]Para [tex3] k=3[/tex3], temos que: [tex3]x=3\cdot \pi +\frac{1}{2}\cdot \arcsen \(\frac{1}{3}\) -2\approx 7,25[/tex3] (fora do intervalo)
Já podemos ver que para [tex3]k[/tex3] maiores que 3 o valor estará fora do intervalo.

Ou,
Solução 2:
[tex3]2x+4=\pi - \arcsen \(\frac{1}{3}\) +2k\pi[/tex3]
[tex3]\therefore x=\frac{\pi }{2} -\frac{1}{2}\cdot \arcsen \(\frac{1}{3}\)-2+k\pi [/tex3]
[tex3]\to [/tex3]Para [tex3]k=1[/tex3],temos que: [tex3]x=\frac{3\cdot \pi }{2} -\frac{1}{2}\cdot \arcsen \(\frac{1}{3}\)-2 \approx 2,25[/tex3] (dentro do intervalo)
[tex3]\to [/tex3]Para [tex3]k=2[/tex3],temos que: [tex3]x=\frac{5\cdot \pi }{2} -\frac{1}{2}\cdot \arcsen \(\frac{1}{3}\)-2 \approx 5,25[/tex3] (dentro do intervalo)
[tex3]\to [/tex3]Para [tex3]k=3[/tex3],temos que: [tex3]x=\frac{7\cdot \pi }{2} -\frac{1}{2}\cdot \arcsen \(\frac{1}{3}\)-2 \approx 8,25[/tex3] (fora do intervalo)
Já podemos ver que para [tex3]k[/tex3] maiores que 3 o valor estará fora do intervalo.

Logo, para satisfazer o conjunto, [tex3]k=1[/tex3] ou [tex3]k=2[/tex3], e ,portanto :
[tex3]S=\left\{\pi +\frac{1}{2}\cdot \arcsen \(\frac{1}{3}\) -2; 2\cdot \pi +\frac{1}{2}\cdot \arcsen \(\frac{1}{3}\) -2;\frac{3\cdot \pi }{2} -\frac{1}{2}\cdot \arcsen \(\frac{1}{3}\)-2;\frac{5\cdot \pi }{2} -\frac{1}{2}\cdot \arcsen \(\frac{1}{3}\)-2\right\}[/tex3]

Espero que tenha lhe ajudado, abraço!

Obrigada pela resolução!