Olimpíadas ⇒ OLimpíada do Rio de Janeiro 1993

[jacobi]

Seja f uma função definida no conjunto dos inteiros positivos que satisfaz às seguintes condições:
i) f(1) = 1
ii) f(2n) = 2f(n) + 1 , se [tex3]n \geq 1[/tex3]
iii) f(f(n)) = 4n + 1, se [tex3]n \geq 2[/tex3]

Determine o valor de f(1993).

Resposta

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4205

[jacobi]

Seja f uma função definida no conjunto dos inteiros positivos que satisfaz às seguintes condições:
i) f(1) = 1
ii) f(2n) = 2f(n) + 1 , se [tex3]n \geq 1[/tex3]
iii) f(f(n)) = 4n + 1, se [tex3]n \geq 2[/tex3]

Para n = 1 --> f(2) = 2.f(1) + 1 = 2.1 + 1 = 3
para n = 2 --> f(4) = 2.f(2) + 1 = 2.3 + 1 = 7
para n = 2 --> f(f(2)) = f(3) = 4.2 + 1 = 9
para n = 3 --> f(6) = 2.f(3) + 1 = 2.9 + 1 = 19
para n = 3 --> f(f(3)) = f(9) = 4.3 + 1 = 13
para n = 4 --> f(8) = 2.f(4) + 1 = 2.7 + 1 = 15
para n = 4 --> f(f(4)) = f(7) = 4.4 + 1 = 17

f(1) = 1
f(2) = 3
f(3) = 9
f(4) = 7
f(5) = ?
f(6) = 19
f(7) = 17
f(8) = 15

É, daqui prá frente travou.

[joynobre]

[tex3]i)\,\, f(1) = 1[/tex3]
[tex3]ii)\,\, f(2n) = 2f(n) + 1 , se n \geq 1[/tex3]
[tex3]iii)\,\, f(f(n)) = 4n + 1, se n \geq 2[/tex3]
[tex3]f(1993)= ?[/tex3]

[tex3]f(1993)=4n+1[/tex3]
[tex3]f(n) =1993[/tex3]

[tex3]f(f(k))=4k+1=1993 \Rightarrow \,\, k=498[/tex3]
[tex3]f(f(498))=1993[/tex3]

[tex3]f(498)=2f(249)+1[/tex3]
[tex3]f(249) = 4x+1[/tex3]
[tex3]f(x) =249 \Rightarrow \,\, 249 = 4x +1 \Rightarrow \,\, x=62[/tex3]
[tex3]f(f(62))=249[/tex3]

[tex3]f(62) = 2f(31) +1[/tex3]

[tex3]f(2s) =2f(s) +1 \Rightarrow \,\, f(2s)=31 \Rightarrow \,\, 31=2f(s)+1 \Rightarrow \,\, f(s)=15[/tex3]

[tex3]f(8)=15 \Rightarrow \,\, s=8[/tex3]

[tex3]f(f(2s))=8s+1 \Rightarrow \,\, f(31) = 8s+1 \Rightarrow \,\, f(31)=65 \Rightarrow \,\, f(62)=131[/tex3]

[tex3]f(131) = 249 \Rightarrow \,\, f(249) =525[/tex3]
[tex3]f(498) = 1051 \Rightarrow \,\, f(1051) =1993[/tex3]
[tex3]\therefore \,\, n=1051[/tex3]

[tex3]f(f(1051)) = 4.1051 +1[/tex3]
[tex3]\therefore \,\, f(1993) = 4205[/tex3]

By Breno Souza!