Cap.2 - Eixo Radixal ⇒ Problema 20 - Éixo Radical -Vol. 9 Tópico resolvido

[petrasMOD]

O centro radical das circunferências cujos diâmetros são os lados do triângulo
coinceide com o.... do referido triângulo.

A)Circuncentro
B) Ortocentro
C) Incentro
D) Baricentro
E) Cevacentro

Resposta

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Gabarito: B)

[petrasMOD]

Cada lado do triângulo é o diâmetro de uma circunferência.
Assim, temos três circunferências, cada uma com um lado do triângulo como diâmetro.


O centro de cada circunferência é o ponto médio de cada lado do triângulo (porque o diâmetro é o lado).
O eixo radical de duas circunferências é o lugar dos pontos com potências iguais.
O centro radical de três circunferências é o ponto de interseção dos eixos radicais entre cada par delas.
Como os centros das circunferências são os pontos médios dos lados, os eixos radicais vão ser linhas que passam por pontos ligados a esses lados.
O centro radical será o ponto que tem potências iguais em relação às três circunferências.
Esse ponto coincide com o ortocentro do triângulo.

As circunferências com lados como diâmetros passam por todos os vértices opostos (pelo Teorema do Ângulo Inscrito, o ângulo na circunferência é reto).Logo, o centro radical dessas circunferências (que é o ponto de interseção dos eixos radicais) é o ortocentro, pois ele é o ponto onde as alturas se encontram, que é exatamente o lugar que equilibra essas potências.

[rcompany]

[tex3]H_B\text{ projeção ortogonal de $B$ em }(AC)\quad\text{(pé da altura)}\\
\angle BH_BA=90°\implies\text{ círculo circunscrito }\mathcal{C}_{BH_BA}\text{ de }\triangle BH_BA\text{ tem como raio }\frac{AB}{2}\text{ e centro $I$ ponto médio de }[A,B]\implies \mathcal{C}_{BH_BA}=\mathcal{C}_{AB}\implies Pot_I(H_B)=0\\
\angle BH_BC=90°\implies\text{ círculo circunscrito }\mathcal{C}_{BH_BC}\text{ de }\triangle BH_BC\text{ tem como raio }\frac{BC}{2}\text{ e centro $J$ ponto médio de }[B,C]\implies \mathcal{C}_{BH_BA}=\mathcal{C}_{BC}\implies Pot_J(H_B)=0\\
P(H_B,I)=P(H_B,J)\implies H_B\text{ pertence ao eixo radical de }\mathcal{C}_{AB}\text{ e }\mathcal{C}_{BC}\\
B\in\mathcal{C}_{AB}\cap\mathcal{C}_{BC}\implies Pot_I(B)=Pot_J(B)=0\implies B\text{ pertence ao eixo radical de }\mathcal{C}_{AB}\text{ e }\mathcal{C}_{BC}\\
\therefore (BH_B)\text{, altura de $\triangle ABC$ oriunda de $B$, também é eixo radical de }\mathcal{C}_{AB}\text{ e }\mathcal{C}_{BC}\\
\text{Da mesma forma }(AH_A)\text{ é eixo radical de }\mathcal{C}_{AB}\text{ e }\mathcal{C}_{AC}\text{ e }(CH_C)\text{ é eixo radical de }\mathcal{C}_{BC}\text{ e }\mathcal{C}_{AC}\\
\text{Os eixos radicais se interceptam no centro radical e as três alturas se interceptam no ortocentro}\\
\text{O ortocentro de }\triangle ABC\text{ é o centro radical dos três círculos que tem como diâmetros os lados de } \triangle ABC[/tex3]