Proporcionalidade e Semelhança - 2003 - Vol. 7 ⇒ Problema 37 - Proporcionalidade e Semelhança -Vol. 7 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Em um triângulo se traçam as bissetrizes internas AF, BG e CE interceptando-se
em "I". Se AI= 1,5m, IF = 1,0 m, BI = 2m, CI = 2,5m e EI = 1m.
Calcular IG

Resposta

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Gabarito: 11m/12

[petrasMOD]

AI = 1,5 m
IF = 1,0 m
BI = 2 m
CI = 2,5 m
EI = 1 m

Para a bissetriz BG, que passa por I:
[tex3]\frac{BI}{IG}= \frac{BA+BC}{AC}.
[/tex3]
Para a bissetriz AF, que passa por I:
[tex3]\frac{AI}{IF}=\frac{AB+AC}{BC}.[/tex3]
Para a bissetriz CE, que passa por I:
[tex3]\frac{CI}{IE}=\frac{CA+CB}{AB}.[/tex3]


[tex3]\frac{AI}{IF} = \frac{1.5}{1.0} = 1.5 \implies \frac{AB+AC}{BC} = 1.5 [/tex3](Equação 1)
[tex3]\frac{CI}{IE} = \frac{2.5}{1.0} = 2.5 \implies \frac{CA+CB}{AB} = 2.5[/tex3] (Equação 2)

[tex3]\frac{BI}{IG} = \frac{BA+BC}{AC}\\ \implies\frac{2}{IG} = \frac{AB+BC}{AC} [/tex3](Equação 3)

Da Equação 1: AB + AC = 1.5 BC (Equação 1')
Da Equação 2: AC + BC = 2.5 AB (Equação 2')

De (1'): AC = 1.5 BC - AB
Substitua AC na (2'):
(1.5 BC - AB) + BC = 2.5 AB
2.5 BC = 3.5 AB
BC =[tex3] \frac{3.5}{2.5} AB = \frac{7}{5} AB = 1.4 AB[/tex3]

Usando (1'):
AB + AC = 1.5 (1.4 AB)
AB + AC = 2.1 AB
AC = 1.1 AB
BC = 1.4 AB
AC = 1.1 AB

Substitua estas relações na Equação 3:
[tex3]\frac{2}{IG} = \frac{AB + BC}{AC}\\
\frac{2}{IG} = \frac{AB + 1.4 AB}{1.1 AB} \implies
\frac{2}{IG} = \frac{24}{11}
[/tex3]

[tex3]2 \times 11 = 24 \times IG \implies IG = \frac{22}{24}\\
\therefore\boxed{IG = \frac{11}{12}} m[/tex3]



Propriedade da bissetriz usada

[tex3]\frac{AI}{IF} = \frac{AB+AC}{BC}[/tex3]

Aplique o Teorema da Bissetriz Interna no [tex3]\triangle ABF[/tex3]
[tex3] \frac{AI}{IF} = \frac{AB}{BF} \quad (*)[/tex3]

Aplique o Teorema da Bissetriz Interna no[tex3] \triangle ACF[/tex3]:
[tex3]\frac{AI}{IF} = \frac{AC}{CF} \quad (**)[/tex3]


[tex3]\therefore \frac{AB}{BF} = \frac{AC}{CF}[/tex3]

Usando a propriedade das proporções:*
[tex3]\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \implies \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d}\\.
\therefore \frac{AB}{BF} = \frac{AC}{CF} = \frac{AB+AC}{BF+CF} = \boxed{\frac{AB+AC}{BC}}
[/tex3]