Proporcionalidade e Semelhança - 2003 - Vol. 7 ⇒ Problema 49 - Proporcionalidade e Semelhança -Vol. 7 Tópico resolvido

[petrasMOD]

No triângulo ABC se inscreve o retângulo PQMN encontrando-se
PN em AC e QM = 2QP. Por B se traça uma paratela ao 1ado AC
que intercepta ao prolongamento de AM em T.
Calcular BT, se a altura BH mede 12m.

Resposta

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Gabarito: E) 24m

[petrasMOD]

[tex3]\triangle BQM \sim \triangle BAC[/tex3]

[tex3] \frac{QM}{AC} = \frac{\text{Altura de BQM}}{\text{Altura de BAC}}[/tex3]

A altura de [tex3]\triangle BAC = BH = H = 12m.[/tex3]
A altura de [tex3]\triangle BQM = H-QP[/tex3] (onde QP é a altura do retângulo).
Portanto:
[tex3] \frac{QM}{AC} = \frac{H - QP}{H}\\
\frac{2QP}{AC} = \frac{H - QP}{H}\\
\therefore AC = \frac{2QP \cdot H}{H - QP} (Equação 1)[/tex3]
[tex3]\triangle TBM \sim \triangle AMC[/tex3]

[tex3] \frac{BT}{AC} = \frac{BM}{MC} (Equação 2)
[/tex3]

[tex3]\frac{BM}{BC} = \frac{\text{Altura de BQM}}{\text{Altura de BAC}} = \frac{H - QP}{H}[/tex3]

MC em termos de BC e BM:
[tex3]MC = BC - BM = BC - BC \left(\frac{H - QP}{H}\right) = \\BC \left(1 - \frac{H - QP}{H}\right) =\\ BC \left(\frac{H - H + QP}{H}\right) = \\BC \left(\frac{QP}{H}\right)\\
\therefore \frac{BM}{MC} = \frac{BC \left(\frac{H - QP}{H}\right)}{BC \left(\frac{QP}{H}\right)} = \frac{H - QP}{QP} (Equação 3)
[/tex3]
Cálculo de BT
Equação 3 na Equação 2:
[tex3]BT = AC \cdot \frac{BM}{MC} = AC \cdot \left(\frac{H - QP}{QP}\right) (Equação 4)[/tex3]
Agora, substitua a Equação 1 (expressão para AC) na Equação 4:
[tex3]BT = \left(\frac{2\cancel{QP} \cdot H}{\cancel{H - QP}}\right) \cdot \left(\frac{\cancel{H - QP}}{\cancel{QP}}\right)\\
\therefore BT = 2H \implies BT = 2.12 = \boxed{24}

[/tex3]

[geobson]

Uma forma mais lacônica…………………………..