Olimpíadas ⇒ Geometria - ângulo Tópico resolvido

[Babi123]

Prove que [tex3]\theta=\frac{\pi}{7}[/tex3].

89507219_1103045356740947_1967187079897022464_o~2.jpg (29.89 KiB) Exibido 2319 vezes

[Tassandro]

@jvmago,
Alguma ideia?

[jvmago]

@jvmago,
Alguma ideia?

Uma questão interessante mas o ângulo é bem estranho, talvez a saída algébrica seja a melhor opção apesar de que me lembra muito uma do hexágono tbm da racso que saia por quadriláteros incríveis

[jvmago]

Vou rabiscar isso amanhã, provavelmente vai cair em trigo

[undefinied3]

Por trigonometria/complexos fica impraticável eu acho

Considere [tex3]x^7=1[/tex3] os vértices do heptágono. O centro do heptágono da esquerda está em (0,0). Considere (1,0) o centro daquele círculo ali da figura, que será o vértice A. Os vértices de B até G são definidos em em sentido anti horário.

O centro do outro heptágono será em [tex3]O_2=O_1+\vec{O_1B}+\vec{O_1A}=cis(\frac{2\pi}{7})+cis(0)[/tex3]

Os outros vértices do segundo heptágono estarão todos em [tex3]O_2+cis(\frac{11\pi}{7})[/tex3], [tex3]O_2+cis(\frac{13\pi}{7})[/tex3] até [tex3]O_2+cis(\frac{19\pi}{7})[/tex3]. Eles também estão postos em sentido anti horário de H até M. Os outros dois vértices são B e A.

O círculo da figura tem raio [tex3]|B-A|=|cis(\frac{2\pi}{7})-1|=2sen(\frac{\pi}{7})[/tex3]. O vetor do segmento é [tex3]\vec{FA}=cis(\frac{10\pi}{7})-1[/tex3]. O versor, portanto, é [tex3]\frac{cis(\frac{10\pi}{7})-1}{2sen(\frac{5\pi}{7})}[/tex3]. Então, seja T aquele ponto no segmento. Ele é dado por [tex3]T=A+r \hat{FA}=1+2sen(\frac{\pi}{7}).\frac{cis(\frac{10\pi}{7})-1}{2sen(\frac{5\pi}{7})}[/tex3]

Considere, finalmente, uma mudança de referencial da origem para o ponto M. Basta somar MO1 aos pontos T e E, que são os que precisamos para calcular o ângulo.

[tex3]MO_1=M=O_2+cis(\frac{19\pi}{7})=cis(\frac{2\pi}{7})+cis(0)+cis(\frac{19\pi}{7})=1+cis(\frac{2\pi}{7})+cis(\frac{19\pi}{7})[/tex3]

Então
[tex3]T'=T+M=2+cis(\frac{2\pi}{7})+cis(\frac{19\pi}{7})+sen(\frac{\pi}{7}).\frac{cis(\frac{10\pi}{7})-1}{sen(\frac{5\pi}{7})}[/tex3]
[tex3]E'=E+M=1+cis(\frac{2\pi}{7})+cis(\frac{8\pi}{7})+cis(\frac{19\pi}{7})[/tex3]

Finalmente, [tex3]\theta=Arg(\frac{T'}{E'})[/tex3]
[tex3]\frac{T'}{E'}=\frac{2+cis(\frac{2\pi}{7})+cis(\frac{19\pi}{7})+sen(\frac{\pi}{7}).\frac{cis(\frac{10\pi}{7})-1}{sen(\frac{5\pi}{7})}}{1+cis(\frac{2\pi}{7})+cis(\frac{8\pi}{7})+cis(\frac{19\pi}{7})}[/tex3]

Mas aí calcular isso é muito desgastante.

[geobson]

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[geobson]

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[geobson]

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