Ensino Superior ⇒ Prova de cálculo I Funções, Limites e Derivadas VII

[JigsawMOD]

QUESTÃO 8 = Considerando [tex3]y = \alpha x^3+\beta x[/tex3] sabemos qual a taxa média de [tex3]y[/tex3] em relação a [tex3]x[/tex3] no intervalo [0,1] é 27,9 e que a taxa da variação instantânea de [tex3]y[/tex3] em relação a [tex3]x[/tex3] quando [tex3]x = 0[/tex3] é [tex3]9,1[/tex3]
Calcule o valor de [tex3]\alpha [/tex3].
Resposta com pelo menos 2 casas decimais corretas. Evite arredondamentos nos passos intermediários.

Resposta

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S GAB

ET = Questão postada em 2022 pelo usuário Piguzero a qual estava em desacordo com as regras pré-estabelecidas pelo Fórum
viewtopic.php?t=103136

[matbatrobin]

A média [tex3]y_{med}[/tex3] que uma função [tex3]y(x)[/tex3] atinge num intervalo [tex3][a,b][/tex3] é [tex3]y_{med}=\frac{1}{b-a}\int^b_a y(x) dx[/tex3], pois a integral nos fornece a área embaixo da curva traçada por [tex3]y(x)[/tex3] no intervalo e essa área é obtida multiplicando o tamanho do intervalo pelo [tex3]y_{med}.[/tex3] Logo,

[tex3]27,9=y_{med}=\frac{1}{1-0}\int^1_0 (\alpha x^3+\beta x) dx=\frac{\alpha x^4}{4}+\frac{\beta x^2}{2}\Big]^1_0=\frac{\alpha +2\beta}{4}[/tex3]

[tex3]y'(x)=3\alpha x^2+\beta \Rightarrow 9,1=y'(0)=\beta \Rightarrow \beta=9,1.[/tex3]

Portanto, [tex3]27,9=\frac{\alpha +18,2}{4}\Rightarrow \alpha=93,40.[/tex3]